11. Sınıf Matematik · Ünite 1
Fonksiyonlarda Dört İşlem: Yeni Makineler İnşa Etmek
Bu derste, farklı fonksiyonları birleştirerek yeni fonksiyonlar elde etmeyi ve dört işlemin tanım kümeleri üzerindeki kritik etkisini günlük hayat örnekleriyle inceleyeceğiz.
Kazanım MAT.11.1.8 · 40 dk okuma
Merhaba sevgili gençler! Fonksiyonları birer makine gibi düşünebileceğimizi daha önce öğrenmiştik. Peki, elimizde iki farklı makine varsa ve bunları senkronize bir şekilde çalıştırarak yepyeni bir ürün elde etmek istiyorsak ne yaparız? İşte fonksiyonlarda dört işlem, matematiksel makinelerimizi birleştirip yeni kurallar oluşturmamızı sağlayan harika bir araçtır.
İşlem Yapabilmenin Altın Kuralı: Ortak Zemin
İki farklı fonksiyonu toplamak, çıkarmak, çarpmak veya bölmek istediğimizde çok temel bir şartımız vardır: Her iki makinenin de kabul ettiği ortak hammaddeleri kullanmak. Yani bir f ve g fonksiyonu ile işlem yapabilmek için, her iki fonksiyonun da tanımlı olduğu x değerlerini seçmeliyiz. Bu da demek oluyor ki, yeni fonksiyonumuzun tanım kümesi, f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişimidir.
Cebirsel Gösterimler
Ortak tanım kümesinden seçtiğimiz her bir x elemanı için dört işlemi oldukça sezgisel bir şekilde tanımlarız. Aslında yaptığımız şey, her iki fonksiyonun o noktadaki görüntülerini (y değerlerini) işleme sokmaktır:
Günlük Hayattan Bir Örnek: Kâr Hesabı
Diyelim ki teknolojik aletler üreten bir firmanız var. Ürettiğiniz x adet ürünün size olan toplam maliyetini M(x) fonksiyonu ile, bu ürünlerin satışından kasaya giren parayı (geliri) ise G(x) fonksiyonu ile modelliyorsunuz. Peki toplam kârınızı nasıl bulursunuz? Kâr, gelirden maliyetin çıkarılmasıyla elde edilir.
İşte fonksiyonlarda çıkarma işlemi günlük hayatta bu kadar doğal bir şekilde karşımıza çıkar. İki farklı kuralı (gelir ve maliyet) alıp, aynı x üretim adedi için yeni ve anlamlı bir kural (kâr) oluşturmuş olduk.
Grafikler Üzerinde Dört İşlem
Fonksiyonları koordinat sisteminde toplamak, aslında aynı x apsisi hizasındaki y ordinatlarını (görüntüleri) birbiriyle toplamak demektir. Örneğin x=2 noktasında f fonksiyonunun grafiği y=3'ten, g fonksiyonunun grafiği y=5'ten geçiyorsa, (f+g) fonksiyonunun grafiği x=2 için y=8 noktasından geçmek zorundadır. Grafikler üzerinden işlem yaparken daima düşey (y ekseni) değerlerine odaklanmalısınız.
Fonksiyonlarda Dört İşlem: Yeni Makineler İnşa Etmek: Alıştırma Soruları
1. f(x) = 3x - 2 ve g(x) = x + 5 fonksiyonları veriliyor. Buna göre (f+g)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 4x - 7
- B) 4x + 3
- C) 2x + 3
- D) 2x - 7
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 4x + 3
(f+g)(x) işlemi, f(x) ve g(x) fonksiyonlarının kural olarak toplanmasıdır. (3x - 2) + (x + 5) = 4x + 3 elde edilir.
2. f fonksiyonunun tanım kümesi A = {1, 2, 3, 4} ve g fonksiyonunun tanım kümesi B = {3, 4, 5, 6} olarak veriliyor. Buna göre (f \cdot g)(x) fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- B) {1, 2, 5, 6}
- C) {3, 4}
- D) Boş küme
Cevabı göster
Doğru cevap: C) {3, 4}
İki fonksiyon arasında dört işlem yapılabilmesi için tanım kümelerinin kesişimi alınmalıdır. A ve B kümelerinin ortak elemanları {3, 4} kümesini oluşturur.
3. f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} ve g = {(2, -1), (3, 2), (4, 1)} fonksiyonları veriliyor. Buna göre (f - g)(2) + (f \cdot g)(3) işleminin sonucu kaçtır?
- A) 18
- B) 12
- C) 10
- D) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 18
(f - g)(2) = f(2) - g(2) = 5 - (-1) = 6'dır. (f \cdot g)(3) = f(3) \cdot g(3) = 6 \cdot 2 = 12'dir. Bu iki değerin toplamı 6 + 12 = 18 bulunur.
4. f(x) = x^2 - 9 ve g(x) = x - 3 fonksiyonları veriliyor. Buna göre (f/g)(x) fonksiyonu ve en geniş tanım kümesindeki kısıtlama aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?
- A) x - 3 , (x ≠ -3)
- B) x + 3 , (x ≠ -3)
- C) x - 3 , (x ≠ 3)
- D) x + 3 , (x ≠ 3)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) x + 3 , (x ≠ 3)
Bölme işleminde paydadaki g(x) sıfır olamaz, yani x - 3 ≠ 0 olacağından x ≠ 3 olmalıdır. İfade f(x)/g(x) = (x-3)(x+3)/(x-3) olarak yazıldığında x ≠ 3 koşuluyla sadeleşerek x + 3 sonucunu verir.
5. Gerçek sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için (f + g)(x) = 4x + 6 ve (f - g)(x) = 2x - 2 eşitlikleri veriliyor. Buna göre f(1) \cdot g(1) çarpımının sonucu kaçtır?
- A) 15
- B) 20
- C) 24
- D) 25
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 25
Verilen iki eşitliği taraf tarafa toplarsak: 2f(x) = 6x + 4, buradan f(x) = 3x + 2 bulunur. İlk denklemde f(x) yerine yazılırsa g(x) = x + 4 elde edilir. f(1) = 5 ve g(1) = 5 olduğundan, f(1)\cdot g(1) = 5 \cdot 5 = 25 olur.