11. Sınıf Matematik · Ünite 1
Logaritmanın Şekil Değiştiren Dünyası: Fonksiyon Dönüşümleri
Logaritma fonksiyonunun grafiği üzerinde öteleme ve simetri işlemlerini keşfedecek, referans fonksiyondan yepyeni fonksiyonlar türeteceğiz.
Kazanım MAT.11.1.5 · 40 dk okuma
Merhaba sevgili gençler! Daha önce logaritma fonksiyonu ile tanışmış, onun temel özelliklerini incelemiştik. Bugün ise birer 'fonksiyon mimarı' olacağız. Temel bir logaritma fonksiyonunu (referans fonksiyon) alıp sağa, sola, yukarı, aşağı taşıyarak veya esneterek yepyeni logaritmik fonksiyonlar inşa edeceğiz. Öncelikle referans fonksiyonumuzu hatırlayalım:
Dönüşümlerin Şifresi
Yukarıdaki kural bize şunu söyler: Logaritmanın içine veya dışına eklediğimiz her bir sayı, grafiğin şeklinde ve konumunda belirgin bir değişikliğe yol açar. Gelin bu şifreyi adım adım çözelim:
- Dışarıya eklenen sayı (± s): Fonksiyonu dikey eksende (y ekseni) yukarı veya aşağı öteler.
- İçeriye eklenen sayı (± r): Fonksiyonu yatay eksende (x ekseni) sağa veya sola öteler.
- İçerideki x'in katsayısı (m): Yatay eksende daralma/genişleme ve m negatifse y eksenine göre simetri (yansıma) yaratır.
- Dışarıdaki çarpan (k): Dikey eksende genişleme ve k negatifse x eksenine göre simetri yaratır.
Görsel Bir Örnek Üzerinde İnceleyelim
Referans fonksiyonumuz tabanı 2 olan bir logaritma olsun. Bu fonksiyondan yepyeni bir g(x) fonksiyonu elde edelim:
Öncelikle logaritmanın içine bakalım: (x - 3). Bu durum grafiğimizi sağa doğru 3 birim ötelememiz gerektiği anlamına gelir. Orijinal asimptotumuz x = 0 iken, yeni asimptotumuz x - 3 = 0 yani x = 3 doğrusu olur. Ardından, dışarıdaki +1 değerini görüyoruz. Bu da sağa taşıdığımız grafiği aynı zamanda 1 birim yukarı kaydıracağımız anlamına gelir. Aşağıdaki grafikte mavi çizgi orijinal fonksiyonu, kırmızı çizgi ise dönüştürülmüş yeni fonksiyonu göstermektedir.
Günlük Hayattan Bir Dokunuş
Deprem büyüklüğünü ölçen Richter ölçeği veya ses şiddetini ölçen desibel sistemi logaritmiktir. Ses mühendisleri bir mikrofonun algılayıcı hassasiyetini değiştirdiğinde (k çarpanı) veya arka plan gürültüsünü filtrelemek için bir eşik değeri eklediğinde (s değeri), aslında farkında olmadan bir logaritmik fonksiyonu dönüştürüyor ve yeni nitel özellikler elde ediyorlar!
Özet
Logaritmik fonksiyonlarda dönüşümler yaparken her zaman en içeriden başlayın. Önce tanım kümesini ve dikey asimptotu (x'in katsayısı ve eklenen sayılar ile) bulun. Ardından dışarıdaki çarpan ve eklentilerle y-eksenindeki değişimi (yukarı/aşağı, esneme/yansıma) belirleyin. Şimdi sıra edindiğimiz bu muhakeme becerilerini sınamakta!
Logaritmanın Şekil Değiştiren Dünyası: Fonksiyon Dönüşümleri: Alıştırma Soruları
1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin dikey asimptotu x = 4 doğrusudur?
- A) f(x) = log(x) + 4
- B) f(x) = log(x + 4)
- C) f(x) = log(x - 4)
- D) f(x) = log(4x)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) f(x) = log(x - 4)
Logaritma fonksiyonunun dikey asimptotu, logaritmanın içini (argümanını) sıfır yapan x değeridir. Verilen seçenekler arasında sadece log(x - 4) fonksiyonunda x - 4 = 0 eşitliğini sağlayan değer x = 4'tür.
2. f(x) = log₃(x) fonksiyonunun grafiği yatay eksende sola doğru 2 birim, dikey eksende aşağıya doğru 5 birim ötelenirse aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi elde edilir?
- A) g(x) = log₃(x - 2) + 5
- B) g(x) = log₃(x + 2) - 5
- C) g(x) = log₃(x - 5) - 2
- D) g(x) = log₃(x + 5) + 2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) g(x) = log₃(x + 2) - 5
Sola doğru 2 birim ötelemek, logaritmanın içinde x yerine (x + 2) yazılmasını gerektirir. Aşağıya doğru 5 birim ötelemek ise fonksiyonun dışına -5 eklemek demektir. Bu dönüşümler sonucunda log₃(x + 2) - 5 elde edilir.
3. g(x) = -2 · log₅(6 - 2x) + 1 fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (3, ∞)
- B) (0, ∞)
- C) (-∞, 3)
- D) (-∞, 6)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (-∞, 3)
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için içinin (argümanının) kesinlikle sıfırdan büyük olması gerekir. 6 - 2x > 0 eşitsizliğini çözersek, 6 > 2x ve buradan 3 > x (yani x < 3) elde ederiz. Bu durum aralık olarak (-∞, 3) şeklinde ifade edilir.
4. f(x) = log₂(x) referans fonksiyonundan g(x) = log₂(4x) fonksiyonu elde ediliyor. Logaritmanın özelliklerini kullanarak bu dönüşümün grafik üzerindeki etkisi aşağıdakilerden hangisi gibi ifade edilebilir?
- A) Grafik 4 birim sola ötelenmiştir.
- B) Grafik x eksenine göre simetriktir.
- C) Grafik 2 birim yukarı ötelenmiştir.
- D) Grafik 4 birim sağa ötelenmiştir.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Grafik 2 birim yukarı ötelenmiştir.
Logaritmanın çarpım kuralını hatırlayalım: log₂(4x) ifadesi log₂(4) + log₂(x) şeklinde ayrılabilir. log₂(4) = 2 olduğuna göre, fonksiyon g(x) = 2 + log₂(x) şekline dönüşür. Bu da orijinal f(x) fonksiyonunun y ekseni boyunca 2 birim yukarı ötelenmesi demektir.
5. Bir deneyde bakteri popülasyonunun büyümesi modellenirken başlangıçta f(x) = ln(x) referans fonksiyonu kullanılıyor. Ancak ortamdaki bir faktörden dolayı yeni model h(x) = -ln(x - 2) olarak güncelleniyor. Bu yeni modelin grafiği ve nitel özellikleri hakkında yapılan aşağıdaki varsayımlardan hangisi YANLIŞTIR?
- A) Grafiğin dikey asimptotu x = 2 doğrusudur.
- B) Fonksiyon (2, ∞) aralığında azalandır.
- C) Grafik, x eksenini x = 3 noktasında keser.
- D) Grafik, f(x) fonksiyonunun sadece sağa ötelenmiş halidir.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Grafik, f(x) fonksiyonunun sadece sağa ötelenmiş halidir.
h(x) = -ln(x - 2) fonksiyonu elde edilirken f(x)'e iki işlem yapılmıştır: x yerine x-2 yazılarak sağa ötelenmiş ve eksi (-) işareti ile çarpılarak grafiğin x eksenine göre simetrisi (yansıması) alınmıştır. SADECE sağa öteleme yapıldığı bilgisi yanlıştır, ortada bir de yansıma işlemi vardır.