12. Sınıf Matematik · Ünite 4
3 Boyutlu Geometrinin Sırları: Prizmalar, Piramitler ve Koniler
Dik prizma, piramit, silindir, koni ve kürenin elemanlarını tanıyarak bu üç boyutlu cisimlerin boyutları arasındaki büyüleyici geometrik ilişkileri keşfediyoruz.
Kazanım MAT.12.4.2 · 40 dk okuma
Merhaba sevgili gençler! 12. sınıf geometrisinde artık şekillerin sadece alanlarını ve hacimlerini hesaplamakla kalmayıp, boyutlar arasındaki gizli ilişkileri de okumaya başlıyoruz. Çevremize baktığımızda yüksek binaların genellikle birer dik prizma, Mısır'daki tarihi yapıların ise dik piramit şeklinde olduğunu görürüz. Peki bu iki yapıyı aynı taban ve aynı yükseklikle inşa etseydik, dış yüzeylerindeki eğim ve uzunluklar nasıl değişirdi? Gelin bu ilişkileri birlikte keşfedelim.
Dik Prizma ve Dik Piramidin Karşılaştırılması
Bir dik prizmayı (örneğin kare dik prizma) düşünün. Prizmanın yan yüzleri tabana diktir, bu nedenle yan yüz yüksekliği doğrudan cismin kendi yüksekliğine (h) eşittir. Şimdi aynı tabana ve aynı cisim yüksekliğine (h) sahip bir dik piramit düşünelim. Piramidin tepe noktası tabanın tam ortasında (ağırlık merkezinde) bulunur ve yan yüzleri eğimlidir.
Kare dik piramitte taban ayrıtına 'a', cisim yüksekliğine 'h', yan yüz yüksekliğine 'h_yan' dersek, içerideki o gizli dik üçgende Pisagor teoremi bize şunu söyler:
Silindir, Koni ve Küreye Geçiş
Köşeli cisimlerde kurduğumuz bu mantığı, eğri yüzeyli cisimlere (dönel cisimler) taşıyabiliriz. Dik prizmanın dairesel versiyonu dik dairesel silindirdir; dik piramidin dairesel versiyonu ise dik dairesel konidir. Bir silindirin yan yüzeyini oluşturan doğrular (ana doğrular) tabana diktir ve cisim yüksekliğine eşittir.
Koninin Ana Doğrusu (Generatrix)
Konide ise durum piramite çok benzer. Koninin tepe noktasından taban dairesinin çevresine çizilen doğru parçalarına 'ana doğru' (l) denir. Piramitteki yan yüz yüksekliğinin yerini, konide ana doğru almıştır. Koninin cisim yüksekliği (h), taban yarıçapı (r) ve ana doğrusu (l) arasında yine harika bir dik üçgen ilişkisi vardır.
Nasıl ki aynı boyutlardaki piramidin yan yüz yüksekliği prizmanınkinden büyükse, aynı taban yarıçapına ve yüksekliğe sahip bir koninin ana doğrusu da, silindirin ana doğrusundan (yüksekliğinden) daima daha uzundur. Kısacası 3 boyutlu geometride karşınıza çıkan eğimli uzunluklar, her zaman içeride yatan bir dik üçgenin hipotenüsü oldukları için dik uzunluklardan fazladır.
Küreye gelince, kürenin her noktası merkeze eşit uzaklıktadır (R). Eğer bir silindirin içine bir küre yerleştirirsek ve küre silindirin hem tabanlarına hem de yan yüzeyine teğet olursa, silindirin yüksekliğinin kürenin çapına (2R) eşit olduğunu hemen fark edebiliriz. Şekiller arası geçişler, doğanın mükemmel matematiksel uyumunun kanıtıdır.
3 Boyutlu Geometrinin Sırları: Prizmalar, Piramitler ve Koniler: Alıştırma Soruları
1. Dik dairesel bir koninin taban yarıçapı 5 cm ve cisim yüksekliği 12 cm'dir. Bu koninin ana doğrusunun (l) uzunluğu kaç cm'dir?
- A) 13
- B) 14
- C) 15
- D) 17
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 13
Konide ana doğru, yükseklik ve yarıçap ile bir dik üçgen oluşturur. l^2 = h^2 + r^2 formülünden l^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 bulunur. Buradan l = 13 cm'dir.
2. Aynı kare tabana ve aynı cisim yüksekliğine sahip bir dik prizma ile bir dik piramit karşılaştırılıyor. Aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- A) Piramidin yan yüz yüksekliği, prizmanın cisim yüksekliğinden küçüktür.
- B) Piramidin yan yüz yüksekliği, prizmanın cisim yüksekliğine eşittir.
- C) Piramidin yan yüz yüksekliği, prizmanın cisim yüksekliğinden büyüktür.
- D) Piramidin yan yüz yüksekliği ile prizmanın yüksekliği arasında bir ilişki kurulamaz.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Piramidin yan yüz yüksekliği, prizmanın cisim yüksekliğinden büyüktür.
Piramidin yan yüz yüksekliği, piramidin içindeki dik üçgenin hipotenüsüdür (dik kenarları cisim yüksekliği ve taban ayrıtının yarısıdır). Hipotenüs her zaman dik kenardan büyük olacağı için piramidin yan yüz yüksekliği h'den (yani prizmanın yüksekliğinden) büyüktür.
3. Taban ayrıtı 16 cm ve cisim yüksekliği 15 cm olan kare dik piramidin yan yüz yüksekliği kaç cm'dir?
- A) 15
- B) 17
- C) 20
- D) 25
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 17
Piramitte yan yüz yüksekliğini bulmak için cisim yüksekliği (15 cm) ve taban ayrıtının yarısı (16/2 = 8 cm) ile dik üçgen oluştururuz. Yan yüz yüksekliği h_yan = kök(15^2 + 8^2) = kök(225 + 64) = kök(289) = 17 cm olur.
4. Bir dik dairesel silindir ve bir dik dairesel koninin taban yarıçapları ile cisim yükseklikleri birbirine eşittir. Silindirin ana doğru uzunluğu h, koninin ana doğru uzunluğu l ise l ile h arasındaki ilişki için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) l < h
- B) l = h
- C) l = h + r
- D) l > h
Cevabı göster
Doğru cevap: D) l > h
Silindirin ana doğrusu, cisim yüksekliğine (h) eşittir. Koninin ana doğrusu (l) ise h ve r'nin oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür (l^2 = h^2 + r^2). Hipotenüs her zaman dik kenardan büyük olduğu için l > h'dir.
5. Bir kare dik piramit ile bir dik dairesel koninin cisim yükseklikleri eşittir. Koninin taban yarıçapı 6 cm, piramidin taban ayrıtı ise 12 cm'dir. Bu iki cismin ana doğrusu (konide) ile yan yüz yüksekliği (piramitte) arasındaki ilişki nedir?
- A) Koninin ana doğrusu daha uzundur.
- B) Piramidin yan yüz yüksekliği daha uzundur.
- C) İkisinin uzunlukları birbirine eşittir.
- D) Verilen bilgilerle karşılaştırma yapılamaz.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) İkisinin uzunlukları birbirine eşittir.
Piramidin yan yüz yüksekliğini bulurken taban ayrıtının yarısını (12/2 = 6 cm) kullanırız. h_yan = kök(h^2 + 6^2). Koninin ana doğrusunu bulurken yarıçapı (6 cm) kullanırız. l = kök(h^2 + 6^2). İki denklem de aynıdır, dolayısıyla uzunluklar eşittir.