Online Kolej
Kayıt Ol

12. Sınıf Matematik · Ünite 2

Türevin Sınırları: Bir Fonksiyon Ne Zaman Türevlenemez?

Türevin limit tanımını inceleyerek sağdan ve soldan türev kavramlarını öğreniyor, kırılma ve kopma noktalarında fonksiyonların neden türevlenemediğini keşfediyoruz.

Kazanım MAT.12.2.6 · 40 dk okuma

Türevin bir fonksiyonun anlık değişim oranını veya grafiğe çizilen teğetin eğimini temsil ettiğini biliyoruz. Ancak matematikte her şey her zaman mükemmel yürümez. Bazı noktalarda bir fonksiyona teğet çizmek imkansızdır. Peki, bir fonksiyonun bir noktada türevli olup olmadığına nasıl karar veririz? Bunun için türevin kalbine, yani limit tanımına inmemiz gerekir.

Türevin Limit Tanımı

Bir f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki türevi, fonksiyonun a noktasına yaklaşırken gösterdiği değişimin limitidir. Bu tanımı matematiksel olarak şu şekilde ifade ederiz:

f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

Sağdan ve Soldan Türev

Limit konusundan hatırlayacağınız üzere, bir noktada limitin var olabilmesi için o noktaya sağdan ve soldan yaklaştığımızda aynı değeri bulmalıyız. Aynı kural türev için de geçerlidir! Bir fonksiyonun x = a noktasında türevlenebilir olması için sağdan türevinin f+(a) ve soldan türevinin f-(a) birbirine eşit olması zorunludur.

lim⁡x→a+f(x)−f(a)x−a=lim⁡x→a−f(x)−f(a)x−a\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

Eğer sağdan ve soldan türevler farklı çıkarsa, o noktada fonksiyonun türevi yoktur deriz.

Hangi Durumlarda Türev Yoktur?

  • Süreksizlik Noktaları: Bir fonksiyon bir noktada kopukluk yaşıyorsa (sıçrama veya boşluk varsa), orada teğet çizemeyiz. Süreksiz olan bir fonksiyon, o noktada kesinlikle türevlenemez. 2. Kırılma Noktaları (Sivri Uçlar): Fonksiyon sürekli olabilir, yani grafiği elimizi kaldırmadan çizebiliriz. Ancak aniden keskin bir dönüş yapıyorsa (örneğin mutlak değer grafikleri), sağdan ve soldan yaklaştığımız eğimler birbirinden farklı olur.

Görsel Bir Örnek: Mutlak Değer Fonksiyonu

Aşağıdaki f(x) = |x - 2| fonksiyonunun grafiğini inceleyelim. x=2 noktasında grafik kopuk değildir (süreklidir). Ancak x=2 noktasında sivri bir uç (kırılma noktası) oluşturur. x=2'ye soldan yaklaşırken doğrunun eğimi -1, sağdan yaklaşırken eğimi +1'dir. Sağ ve sol türevler eşit olmadığı için x=2 noktasında türev yoktur.

22f(x) = |x-2|

Özetle; parçalı veya mutlak değerli fonksiyonların türevlenebilirliğini incelerken önce kritik noktalarda sürekliliğe, ardından sağdan ve soldan türevlerin (eğimlerin) eşitliğine bakarız.

auto_awesome

Türevin Sınırları: Bir Fonksiyon Ne Zaman Türevlenemez?: Alıştırma Soruları

  1. 1. Bir f(x) fonksiyonu x = 5 noktasında sürekli değildir (grafikte bir kopma vardır). Bu durum için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle söylenebilir?

    • A) Fonksiyonun x = 5 noktasında sağdan ve soldan türevi eşittir.
    • B) Fonksiyonun x = 5 noktasında türevi 0'dır.
    • C) Fonksiyon x = 5 noktasında türevlenebilir değildir.
    • D) Fonksiyon x = 5 noktasında türevlenebilir ancak değeri hesaplanamaz.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) Fonksiyon x = 5 noktasında türevlenebilir değildir.

    Bir noktada türevin olabilmesi için temel ön şart o noktada fonksiyonun sürekli olmasıdır. Fonksiyon sürekli değilse (kopma varsa), teğet çizilemez ve dolayısıyla o noktada türev kesinlikle yoktur.

  2. 2. Bir fonksiyonun x = 3 noktasındaki sağdan türevi f+(3) = 6 ve soldan türevi f-(3) = -6 olarak hesaplanmıştır. Buna göre f'(3) değeri kaçtır?

    • A) 0
    • B) 6
    • C) -6
    • D) Türevi yoktur
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) Türevi yoktur

    Bir noktada türev olabilmesi için o noktadaki sağdan ve soldan türev değerlerinin birbirine eşit olması gerekir. 6 ve -6 farklı değerler olduğu için fonksiyonun x=3 noktasında türevi yoktur.

  3. 3. f(x) parçalı fonksiyonu şöyle tanımlanmıştır: x < 2 için f(x) = x^2 ve x ≥ 2 için f(x) = 3x - 2. Bu fonksiyonun x = 2 noktasındaki türevlenebilirliği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • A) Türevlidir ve türevi 4'tür.
    • B) Türevlidir ve türevi 3'tür.
    • C) Sürekli olmadığı için türevli değildir.
    • D) Süreklidir ancak sağ ve sol türevleri farklı olduğu için türevli değildir.
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) Süreklidir ancak sağ ve sol türevleri farklı olduğu için türevli değildir.

    Önce x=2'de sürekliliğe bakalım: sol limit 2^2 = 4, sağ limit 3(2)-2 = 4. Fonksiyon süreklidir. Şimdi türevlere bakalım: soldan türev x^2'nin türevi 2x'tir ve x=2'de değer 4 olur. Sağdan türev 3x-2'nin türevi 3'tür. Sol türev (4) eşit değildir sağ türev (3). Bu nedenle sürekli olmasına rağmen türevi yoktur.

  4. 4. Aşağıdaki fonksiyon grafiklerinden hangisinin her noktasında kesinlikle bir türevi bulunmaz?

    • A) Sabit bir sayıyı gösteren yatay bir doğru
    • B) V şeklinde keskin bir dönüşe sahip mutlak değer grafiği
    • C) Kıvrımlı ve pürüzsüz ilerleyen bir polinom grafiği
    • D) Orijinden geçen eğik bir doğru grafiği
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) V şeklinde keskin bir dönüşe sahip mutlak değer grafiği

    Polinomlar, sabit fonksiyonlar ve doğrusal fonksiyonlar her yerde pürüzsüzdür ve türevlenebilir. Ancak V şeklindeki kırılma noktalarına sahip mutlak değer grafiklerinin sivri uçlarında sağ ve sol eğimler farklı olduğu için türev yoktur.

  5. 5. f(x) parçalı fonksiyonu, x < 1 için f(x) = ax^2 + b ve x ≥ 1 için f(x) = 6x olarak veriliyor. Bu fonksiyon tüm gerçel sayılarda türevlenebilir olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

    • A) 4
    • B) 5
    • C) 6
    • D) 7
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 6

    Türevli olduğuna göre x=1 noktasında hem sürekli hem de sağ-sol türevleri eşit olmalıdır. Süreklilik için: x=1 yazarsak a(1)^2 + b = 6(1) yani a+b = 6 olmalıdır. (Ek bilgi olarak türevlerine de bakarsak 2ax = 6 durumundan a=3 ve b=3 çıkar, toplamları yine 6'dır).

1 soru daha seni bekliyor

Ücretsiz kaydol; Türevin Sınırları: Bir Fonksiyon Ne Zaman Türevlenemez? testini puanlı çöz, XP kazan ve takıldığın yeri yapay zeka öğretmenine sor.

Ücretsiz Kaydol