10. Sınıf Matematik · Ünite 1
Doğal Sayıların Sırrı: Asal Çarpanlar ve Bölen Sayıları
Doğal sayıları asal çarpanlarına ayırmayı öğrenecek, bölen sayıları ile asal çarpanlar arasındaki gizli ilişkiyi keşfedecek ve bu bilgilerin kriptolojide nasıl kullanıldığını göreceğiz.
Kazanım MAT.10.1.1 · 40 dk okuma
Sayıların büyüleyici dünyasına hoş geldiniz! Sayıları kilitli birer yapboz kutusu gibi düşündünüz mü hiç? Bir sayının şifresini çözmek için onu en temel yapı taşlarına, yani asal sayılara ayırmamız gerekir. İşte bu işleme asal çarpanlara ayırma diyoruz.
Asal Çarpanlara Ayırma
Her bileşik doğal sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde tek bir biçimde yazılabilir. Bu durum adeta sayıların parmak izi veya DNA'sıdır. Örneğin 60 sayısını ele alalım. 60'ı en küçük asal sayı olan 2'den başlayarak bölelim.
Gördüğünüz gibi ağacı devam ettirdiğimizde 60 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâlini matematiksel olarak şu şekilde yazarız:
Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı (PBS)
Peki, 60'ı tam bölen kaç tane pozitif tam sayı var? Tek tek sayarsak: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60 olmak üzere tam 12 tane böleni olduğunu buluruz. Ancak sayı 3600 gibi devasa bir değer olsaydı tek tek saymak imkansızlaşırdı. Matematikçiler bu zorluğu aşmak için asal çarpanların üsleriyle bölen sayısı arasında muazzam bir örüntü keşfettiler.
Bir A doğal sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını (PBS) bulmak için asal çarpanların üslerine 1 ekleyip birbiriyle çarparız.
Negatif Bölenler ve Tüm Tam Sayı Bölenleri
Bir sayıyı pozitif 2 bölüyorsa, elbette negatif -2 de böler. Dolayısıyla bir doğal sayının pozitif bölen sayısı kadar negatif bölen sayısı vardır. Tüm tam sayı bölenlerinin sayısı ise pozitif bölen sayısının tam 2 katıdır.
Gerçek Hayatta Ne İşe Yarar? Kriptoloji ve Kodlama
Bu bilgiler sadece kâğıt üzerinde kalmaz. İnternette kredi kartı bilgilerinizle alışveriş yaparken veya mesajlaşırken verileriniz RSA gibi şifreleme algoritmalarıyla korunur. Bu algoritmaların temel mantığı şudur: İki devasa asal sayıyı çarpmak bilgisayarlar için çok kolaydır ancak ortaya çıkan o koca sayının bölenlerini ve asal çarpanlarını bulmak çok zordur! Şifrenizi çözen anahtar, tam olarak bu asal çarpanlar ve bölen sayıları arasındaki ilişkide gizlidir.
Doğal Sayıların Sırrı: Asal Çarpanlar ve Bölen Sayıları: Alıştırma Soruları
1. 72 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli $2^a \cdot 3^b$ şeklindedir. Buna göre a + b toplamı kaçtır?
- A) 3
- B) 4
- C) 5
- D) 6
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 5
72 sayısını sırayla asal sayılara böldüğümüzde 72 = 8 * 9, yani 72 = 2^3 * 3^2 olduğunu görürüz. Buradan a = 3 ve b = 2 olur. Toplamları 3 + 2 = 5'tir.
2. 150 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı (PBS) kaçtır?
- A) 8
- B) 10
- C) 12
- D) 16
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 12
150 sayısını asal çarpanlarına ayırırsak: 150 = 2^1 * 3^1 * 5^2. Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için üslere 1 ekleyip çarparız: (1+1)*(1+1)*(2+1) = 2 * 2 * 3 = 12.
3. $A = 2^3 \cdot 5^x$ sayısının tam sayı bölenlerinin toplam sayısı 32 olduğuna göre, x kaçtır?
- A) 2
- B) 3
- C) 4
- D) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 3
Soruda 'tam sayı bölenlerinin' 32 olduğu verilmiştir. Bu sayı hem pozitif hem negatif bölenlerin toplamıdır. O hâlde pozitif bölen sayısı (PBS) 32 / 2 = 16'dır. PBS formülünü uygularsak: (3+1)*(x+1) = 16. Buradan 4*(x+1) = 16 ve x+1 = 4 çıkar. Dolayısıyla x = 3 olur.
4. 360 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi tek sayıdır?
- A) 4
- B) 6
- C) 8
- D) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 6
360 sayısını asal çarpanlarına ayırdığımızda 360 = 2^3 * 3^2 * 5^1 elde ederiz. Tek sayı bölenlerini bulmak için, çift sayı üreten 2 asal çarpanını tamamen dışarıda bırakırız. Kalan asal çarpanlarla işlem yaparız: 3^2 * 5^1. Yeni PBS: (2+1)*(1+1) = 3 * 2 = 6.
5. Bir $x$ doğal sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 15'tir. Buna göre $x$ sayısı için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- A) En az üç farklı asal çarpanı vardır.
- B) Bir tam sayının karesidir.
- C) Çift bir sayıdır.
- D) Asal bir sayıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Bir tam sayının karesidir.
Pozitif bölen sayısı formülü üslerin 1 fazlasının çarpımıdır. PBS'nin 15 (tek sayı) olabilmesi için çarpılan her çarpanın tek sayı olması gerekir. Bu da demek oluyor ki asal çarpanların orijinal üslerinin tamamı çift sayı olmalıdır (Çift+1 = Tek). Üsleri yalnızca çift olan sayılar tam kare (bir sayının karesi) sayılardır.