10. Sınıf Matematik · Ünite 1
Parçadan Bütüne, Bütünden Parçaya: EBOB ve EKOK'un Gizemi
EBOB ve EKOK kavramlarının ardındaki mantığı keşfedecek, sayılar arasındaki örüntüleri inceleyerek kendi matematiksel kurallarınızı oluşturmayı ve bunları gerçek hayatta kullanmayı öğreneceksiniz.
Kazanım MAT.10.1.2 · 45 dk okuma
EBOB ve EKOK: Sadece Formül Değil, Bir Keşif Yolculuğu
Matematikte bazı kavramlar sadece sayıları hesaplamak için değil, evrendeki düzeni anlamak için vardır. Ortak bölenlerin en büyüğü (EBOB) ve ortak katların en küçüğü (EKOK) tam olarak böyledir. Bu derste sadece ezberlenmiş kuralları uygulamayacak, sayıların kendi aralarındaki ilişkilerden yola çıkarak kendi matematiksel varsayımlarımızı oluşturacağız.
Varsayımlarda Bulunalım: Sayıların Ruhu Ne Söylüyor?
Hadi bir dedektif gibi sayılar arasındaki ilişkileri inceleyelim. Örneğin 4 ve 6 sayılarını ele alalım. Bu iki sayının EBOB'u 2, EKOK'u ise 12'dir. Peki, bu sayıların çarpımı ile EBOB ve EKOK'larının çarpımı arasında bir ilişki olabilir mi?
Farklı örnekler de deneyelim: 5 ve 7 aralarında asaldır. EBOB'ları 1, EKOK'ları 35'tir. Çarpımları 35, EBOB ve EKOK'larının çarpımı da 1 çarpı 35'ten 35 yapar. Bu örüntüyü genellediğimizde karşımıza matematikteki en zarif önermelerden biri çıkar:
Gerçek Hayatta EBOB ve EKOK: Ne İşe Yarar?
Geliştirdiğimiz önermeler ve kavramlar gerçek hayatta karşılaştığımız problemleri çözmemizi sağlar. Peki, ne zaman EBOB, ne zaman EKOK kullanmalıyız?
- Bütünden Parçaya: Elimizdeki büyük çuvallardaki pirinçleri küçük ve eşit paketlere bölmek istiyorsak, büyük bir tarlayı eş karelere ayırıyorsak EBOB kullanırız.
- Parçadan Bütüne: Nöbet tutan iki askerin tekrar ne zaman birlikte nöbet tutacağını hesaplıyorsak veya küçük fayanslarla büyük bir kare zemin kaplıyorsak EKOK kullanırız.
Aşağıdaki görselde, 3'er ve 4'er birimlik zıplamalar yapan iki hareketlinin sayı doğrusunda ilk nerede buluştuklarını (EKOK) görebilirsiniz:
Varsayımları Sınamak ve Matematiksel Doğrulama
Şimdi kendi ürettiğimiz bir varsayımı test edelim. Ardışık iki tam sayının EKOK ve EBOB'u hakkında ne söyleyebiliriz? Örneğin 8 ve 9'u düşünelim. Ortak bölenleri sadece 1'dir. Öyleyse ardışık sayılar daima aralarında asaldır önermesini sunabiliriz. Bu durumda EBOB'ları 1, EKOK'ları ise çarpımları olur.
Bu genellemeyi başka ardışık sayılarla da (örneğin 15 ve 16) deneyerek doğruluğunu sınayabilirsiniz. İşte matematik, doğadaki bu değişmez kuralları keşfetme sanatıdır.
Parçadan Bütüne, Bütünden Parçaya: EBOB ve EKOK'un Gizemi: Alıştırma Soruları
1. Biri diğerinin tam katı olan iki pozitif tam sayı (örneğin 10 ve 30) için aşağıdaki varsayımlardan hangisi her zaman doğrudur?
- A) A) EBOB büyük sayıya, EKOK küçük sayıya eşittir.
- B) B) EBOB küçük sayıya, EKOK büyük sayıya eşittir.
- C) C) İki sayının toplamı her zaman EKOK'a eşittir.
- D) D) Bu sayıların EBOB'u her zaman 1'dir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) B) EBOB küçük sayıya, EKOK büyük sayıya eşittir.
Eğer bir sayı diğerinin tam katıysa (örneğin 10 ve 30), küçük sayı her ikisini de bölen en büyük sayıdır (EBOB=10). Büyük sayı ise her ikisinin de ortak katlarının en küçüğüdür (EKOK=30).
2. 'a' ve 'b' aralarında asal iki sayı olduğuna göre, aşağıdaki matematiksel eşitliklerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- A) A) EBOB(a,b) = a
- B) B) EKOK(a,b) = 1
- C) C) EBOB(a,b) + EKOK(a,b) = a * b + 1
- D) D) a * b = EBOB(a,b)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) C) EBOB(a,b) + EKOK(a,b) = a * b + 1
Aralarında asal sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) 1'dir. Ortak katlarının en küçüğü (EKOK) ise bu iki sayının çarpımıdır. Dolayısıyla EBOB + EKOK = 1 + a*b olur.
3. Zeynep, kenar uzunlukları 12 cm ve 15 cm olan dikdörtgen şeklindeki fayansları kırmadan ve aralarında boşluk bırakmadan yan yana dizerek en küçük alanlı kare şeklinde bir zemin kaplamak istiyor. Bu iş için Zeynep'in kaç adet fayansa ihtiyacı vardır?
- A) A) 12
- B) B) 15
- C) C) 20
- D) D) 60
Cevabı göster
Doğru cevap: C) C) 20
Fayanslardan daha büyük bir kare zemin elde edileceği için parçadan bütüne gidilmektedir (EKOK). EKOK(12, 15) = 60 cm (Karenin bir kenarı). Karenin alanı / Fayansın alanı = (60 * 60) / (12 * 15) = 5 * 4 = 20 adet fayans gerekir.
4. Bir x doğal sayısı ile 18 sayısının en büyük ortak böleni 6, en küçük ortak katı ise 72'dir. Kurduğumuz 'İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir' önermesini kullanarak x sayısını bulunuz.
- A) A) 12
- B) B) 24
- C) C) 36
- D) D) 48
Cevabı göster
Doğru cevap: B) B) 24
Önermeye göre: x * 18 = EBOB(x, 18) * EKOK(x, 18) olmalıdır. x * 18 = 6 * 72 eşitliğinden x * 18 = 432 bulunur. 432 / 18 = 24 olduğundan x = 24'tür.
5. Bir öğrenci sayılar arasındaki ilişkileri incelerken şu varsayımda bulunuyor: 'Eğer a ve b çift sayılar ise, bu iki sayının EKOK'u her zaman (a*b)/2 formülü ile bulunur.' Öğrencinin bu varsayımını sınamak için aşağıdaki sayı ikililerinden hangisi kullanılırsa varsayımın YANLIŞ olduğu kanıtlanmış olur?
- A) A) 2 ve 6
- B) B) 4 ve 6
- C) C) 6 ve 10
- D) D) 4 ve 8
Cevabı göster
Doğru cevap: D) D) 4 ve 8
Varsayımı test edelim: D şıkkında a=4, b=8 çift sayılardır. EKOK(4,8)=8'dir. Ancak öğrencinin formülüne göre (4*8)/2 = 16 çıkmaktadır. 8 eşit değildir 16 olduğundan, 4 ve 8 ikilisi bu varsayımı çürüten bir karşıt örnektir.