10. Sınıf Matematik · Ünite 2
Fonksiyonlarla Problem Çözme ve Modelleme
Günlük hayat problemlerini doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlarla modellemeyi; bu modeller üzerinden denklem ve eşitsizlikler kurarak çözüm stratejileri geliştirmeyi keşfedin.
Kazanım MAT.10.2.6 · 40 dk okuma
Merhaba genç matematikçiler! Matematik sadece sayılardan ve harflerden ibaret değildir; etrafımızdaki dünyayı anlama ve şekillendirme sanatıdır. Günlük hayatta karşılaştığımız pek çok durum -bir aracın yakıt tüketimi, havaya atılan bir topun yüksekliği veya bir işin tamamlanma süresi- fonksiyonlar yardımıyla modellenebilir.
Bu dersimizde doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonları kullanarak gerçek hayat problemlerini nasıl temsil edeceğimizi ve bu modeller üzerinden nasıl denklem ve eşitsizlikler kuracağımızı öğreneceğiz.
1. Doğrusal Modeller: Sabit Değişim Hızı
Bir niceliğin diğerine göre sabit bir oranda değiştiği durumları doğrusal fonksiyonlarla modelleriz. Örneğin, bir taksinin açılış ücreti ve kilometre başına aldığı sabit ücret doğrusal bir ilişki belirtir.
Burada 'a' değişim hızını (eğimi), 'b' ise başlangıç değerini temsil eder. Örneğin, hesabınızda 100 TL var ve her hafta 20 TL biriktiriyorsanız, x. hafta sonundaki paranız: f(x) = 20x + 100 şeklinde modellenir.
2. Karesel Modeller: İvme, Alan ve Optimizasyon
Değişim hızının da değiştiği durumlar (örneğin yerçekimi ivmesi altındaki serbest düşüş hareketleri) veya alan hesabı gibi optimizasyon problemleri karesel fonksiyonlarla ifade edilir.
Aşağıdaki grafikte, başlangıç hızı 30 m/s olan ve yukarı doğru atılan bir topun zamana (t) bağlı yüksekliğini (h) inceleyebilirsiniz. Top yükselir, yerçekimi etkisiyle yavaşlar, tepe noktasına ulaşır ve tekrar yere düşer.
3. Rasyonel ve Karekök Modeller
Bir fabrikada parça başı ortalama maliyet hesaplanırken rasyonel fonksiyonlar (payı ve paydası polinom olan fonksiyonlar) kullanılır. Aynı şekilde, hız-fren mesafesi ilişkisi veya sarkaç hareketleri karekök fonksiyonlarıyla modellenir.
Yukarıdaki model, sabit gideri 1000 TL ve ürün başı maliyeti 5 TL olan bir işletmede, üretilen x adet ürün için 'ürün başına düşen ortalama maliyeti' temsil eder.
Modelden Eşitsizliğe: Uygulama
Bir üretici, yukarıda verdiğimiz M(x) fonksiyonuna göre ortalama maliyeti 10 TL'nin altına düşürmek istiyor. En az kaç ürün üretmelidir? Eşitsizliğimizi kuralım:
x (ürün sayısı) pozitif olduğu için eşitsizliğin her iki tarafını x ile çarpabiliriz:
Buradan 1000 < 5x ve 200 < x bulunur. Demek ki üretici 201. üründen itibaren ortalama maliyeti 10 TL'nin altına düşürmüş olacaktır. İşte matematiği gerçek hayata uygulamak bu kadar güçlüdür!