10. Sınıf Matematik · Ünite 3
Saymanın Sırları: Eşleştirme, Toplama ve Zekâ Oyunları
Günlük hayattaki sayma problemlerini eşleştirme, toplama ve görselleştirme yöntemleriyle nasıl çözebileceğimizi keşfediyoruz.
Kazanım MAT.10.3.1 · 35 dk okuma
Saymanın En Eski Hali: Eşleştirme
Sayma ihtiyacı insanlık tarihi kadar eskidir. Rakamların henüz icat edilmediği çağlarda, bir çoban sürüsündeki koyunların tam olup olmadığını nasıl anlıyordu? Her koyun için bir çakıl taşını kenara ayırarak! İşte buna 'eşleştirme' diyoruz. Günümüzde de bir sinema salonundaki boş koltukları saymak yerine, bilet alan kişi sayısıyla koltukları eşleştirerek durumu hızla analiz edebiliriz.
Toplama ve Görselleştirme ile Sayma
Eğer sayacağımız nesneler veya durumlar birbirinden tamamen bağımsızsa (yani aynı anda gerçekleşmeleri mümkün değilse), bu seçeneklerin sayısını toplayarak buluruz. Örneğin, dolabınızda 3 farklı tişört ve 4 farklı gömlek var. Sadece bir üst giyecekseniz, toplam seçenek sayınız 3 + 4 = 7 olur. Bu durumları zihnimizde ayrık kümeler olarak görselleştirmek, sayma stratejimizi belirlemede en önemli adımdır.
Karmaşık Problemleri Sadeleştirmek
Bazen problemler farklı hikayelerle karşımıza çıkar. Örneğin, 'A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şehrinden C şehrine 4 farklı yol varsa, A'dan C'ye B'ye uğramak şartıyla kaç farklı yoldan gidilir?' problemi ile '3 farklı pantolon ve 4 farklı tişörtü olan biri kaç farklı kombin yapabilir?' problemi aslında AYNI sayma yöntemini kullanır. Hikayeler farklı, yöntem aynıdır: Çarpma yoluyla sayma! Bu tür durumlarda problem, içerdiği bağlama göre değil, sayma yöntemine göre sınıflandırılmalıdır.
El Sıkışma ve Çokgenlerde Köşegen Problemleri
Bir toplantıda 5 kişi var ve herkes birbiriyle tam olarak bir kez el sıkışacak. Toplam kaç el sıkışma olur? Bu problemi, 5 köşesi olan bir çokgenin köşelerini birleştiren çizgiler (çizgeler) çizerek görselleştirebiliriz.
Görseldeki 5 noktayı toplantıdaki kişiler, çizgileri ise el sıkışmalar olarak düşünelim. Kenarlar (siyah) ve köşegenlerin (kırmızı) toplam sayısı bize el sıkışma sayısını verir. 1. kişi 4 kişiyle el sıkışır, 2. kişi geriye kalan 3 kişiyle... Böylece toplam el sıkışma sayısı bulunur:
Eğer kişi (veya nokta) sayısı 'n' olsaydı, bunu genel bir formülle ifade edebilirdik:
Saymanın Sırları: Eşleştirme, Toplama ve Zekâ Oyunları: Alıştırma Soruları
1. İnsanlık tarihindeki en eski sayma yöntemi olan ve nesnelerin birebir eşlenmesine dayanan yöntem aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Çarpma yoluyla sayma
- B) Eşleştirme yoluyla sayma
- C) Faktöriyel ile sayma
- D) Bölme yoluyla sayma
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Eşleştirme yoluyla sayma
Sayma tarihi eşleştirme yöntemi ile başlar. Eski çağlarda çobanların sürüdeki hayvanları saymak için her hayvana karşılık bir çakıl taşını kenara ayırması eşleştirme yöntemine en güzel örnektir.
2. Bir restoranda 4 çeşit çorba ve 5 çeşit ana yemek bulunmaktadır. Sadece 1 porsiyon yemek yiyecek olan bir müşteri kaç farklı seçim yapabilir?
- A) 9
- B) 20
- C) 1
- D) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 9
Müşteri ya çorba ya da ana yemek seçecektir, ikisini aynı anda seçmeyecektir. Bu iki durum aynı anda gerçekleşemediği (ayrık durumlar olduğu) için toplama yoluyla sayma kullanılır: 4 + 5 = 9.
3. 7 kişinin bulunduğu bir arkadaş grubunda herkes birbiriyle tam olarak bir kez el sıkışmıştır. Bu durumu bir çizge ile modellersek, toplam kaç el sıkışma (çizgi) gerçekleşmiş olur?
- A) 14
- B) 21
- C) 28
- D) 42
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 21
n kişi için el sıkışma sayısı n(n-1)/2 formülü ile veya 6+5+4+3+2+1 toplanarak bulunur. 7x6/2 = 21 farklı el sıkışma gerçekleşir.
4. Bir kırtasiyede 6 farklı kalem ve 4 farklı silgi vardır. Bir kalem ve bir silgi alacak olan öğrencinin durumu ile aşağıdaki problemlerden hangisi aynı sayma stratejisine (çarpma) sahiptir?
- A) A şehrinden B şehrine 6, B şehrinden C şehrine 4 farklı yol varken A'dan C'ye B üzerinden gitmek
- B) Sınıftaki 6 kız ve 4 erkek öğrenci arasından 1 öğrenci seçmek
- C) 10 soruluk bir sınavda 4 soruyu cevaplamamak
- D) 6 elma ve 4 armutu aynı sepete koymak
Cevabı göster
Doğru cevap: A) A şehrinden B şehrine 6, B şehrinden C şehrine 4 farklı yol varken A'dan C'ye B üzerinden gitmek
Kalem ve silgi problemi 've' bağlacı içerdiğinden ardışık seçimlerdir ve çarpma gerektirir (6x4=24). Yol problemi de aynı şekilde ardışık seçimlerdir (6x4=24). İki problemin bağlamı (hikayesi) farklı olsa da sayma yöntemleri aynıdır.
5. Bir turnuvada her takım diğer tüm takımlarla tam olarak bir kez maç yapmıştır. Toplam 66 maç yapıldığına göre bu turnuvada kaç takım vardır?
- A) 11
- B) 12
- C) 13
- D) 14
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 12
Maç yapma problemi, el sıkışma problemi ile yapısal olarak tamamen aynıdır. Takım sayısı n olsun. Yapılan maç sayısı n(n-1)/2 = 66 olur. Buradan n(n-1) = 132 bulunur. 12 x 11 = 132 olduğundan takım sayısı 12'dir.