Online Kolej
Kayıt Ol

10. Sınıf Matematik · Ünite 7

Geleceği Veriyle Okumak: Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi

Yeni bir bilgi edindiğimizde bir olayın gerçekleşme olasılığının nasıl değiştiğini koşullu olasılık ve Bayes Teoremi ile keşfediyoruz.

Kazanım MAT.10.7.2 · 40 dk okuma

Yeni Bir Bilgi Her Şeyi Nasıl Değiştirir?

Günlük hayatta bir olayın gerçekleşme olasılığını tahmin ederken sürekli yeni veriler elde ederiz. Örneğin, bugün yağmur yağma olasılığı sabah uyandığınızda %20 olabilir. Ancak gökyüzünde kara bulutlar gördüğünüz an, bu olasılık zihninizde anında güncellenir ve belki %80'e çıkar. İşte yeni bir bilgi ışığında olasılıkların değişmesi durumuna koşullu olasılık diyoruz.

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar

Bir olayın gerçekleşmesi, diğerinin gerçekleşme olasılığını etkiliyorsa bu olaylara 'bağımlı olaylar' deriz. Kara bulutların görünmesi ile yağmur yağması bağımlıdır. Bir torbadan çekilen topun geri atılmadan ikinci bir top çekilmesi de ilk çekilen topun rengine bağlı olduğundan bağımlı bir olaydır. Ancak arka arkaya iki kez zar attığımızda, ilk zarın 6 gelmesi ikinci zarın sonucunu etkilemez. Bunlar ise 'bağımsız olaylar'dır.

Koşullu Olasılığın Matematiği

B olayının gerçekleştiği bilindiğinde, A olayının gerçekleşme olasılığına A'nın B'ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A|B) şeklinde gösterilir. Bunu hesaplamak için şu formülü kullanırız:

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Bayes Teoremi: Olasılıkları Tersine Çevirmek

Bazen bir olayın sonucunu biliriz ama bu sonuca hangi sebebin yol açtığını bulmak isteriz. Thomas Bayes tarafından geliştirilen bu teorem, elimizdeki kanıtlara bakarak ilk baştaki inancımızı (olasılığımızı) nasıl güncellememiz gerektiğini matematiksel olarak ispatlar.

P(A∣B)=P(B∣A)⋅P(A)P(B)P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}

Bu formülde P(A) bizim ilk inancımızdır (önsel olasılık). B olayı elimize geçen yeni kanıttır. P(A|B) ise bu yeni kanıt ışığında güncellenmiş inancımızdır (sonsal olasılık). Paydadaki P(B) ise B olayının toplam gerçekleşme olasılığıdır.

Gerçek Yaşamdan Bir Örnek: Fabrikadaki Üretim Hatası

Bir fabrikada akıllı telefonlar iki farklı bantta üretilmektedir. Telefonların %60'ı A bandında, %40'ı B bandında üretiliyor. A bandında üretilen telefonların %2'si, B bandında üretilenlerin ise %5'i kusurlu çıkmaktadır. Kalite kontrol sırasında rastgele seçilen bir telefonun kusurlu olduğu görülmüştür. Bu telefonun A bandında üretilmiş olma olasılığı nedir?

P(A)=0.60Kusurlu P(K|A)=0.02Sağlam P(S|A)=0.98P(B)=0.40Kusurlu P(K|B)=0.05Sağlam P(S|B)=0.95

Bizden istenen telefonun kusurlu olduğu BİLİNDİĞİNE göre, A bandından gelme olasılığı, yani P(A|K) değeridir.

P(A∣K)=P(K∣A)⋅P(A)P(K∣A)⋅P(A)+P(K∣B)⋅P(B)P(A|K) = \frac{P(K|A) \cdot P(A)}{P(K|A) \cdot P(A) + P(K|B) \cdot P(B)}
P(A∣K)=0.02⋅0.60(0.02⋅0.60)+(0.05⋅0.40)=0.0120.012+0.020=0.0120.032=38P(A|K) = \frac{0.02 \cdot 0.60}{(0.02 \cdot 0.60) + (0.05 \cdot 0.40)} = \frac{0.012}{0.012 + 0.020} = \frac{0.012}{0.032} = \frac{3}{8}

Gördüğünüz gibi, telefon kusurlu çıkmadan önce A bandından gelme olasılığı %60 iken, telefonun kusurlu olduğu bilgisini aldığımızda bu olasılık %37.5 (3/8) seviyesine düştü. Çünkü B bandı oransal olarak daha fazla kusurlu ürün veriyordu!

auto_awesome

Geleceği Veriyle Okumak: Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi: Alıştırma Soruları

  1. Soru 1

    1. Aşağıdaki olay çiftlerinden hangisi birbirine bağımlı olaylara örnektir?

  2. Soru 2

    2. A ve B aynı örnek uzayda iki olaydır. P(B) = 0.4 ve P(A ∩ B) = 0.2 olduğuna göre, B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının gerçekleşme olasılığı P(A|B) kaçtır?

  3. Soru 3

    3. Bir okuldaki öğrencilerin %40'ı tiyatro kulübündedir. Tiyatro kulübündeki öğrencilerin %30'u aynı zamanda müzik kulübüne de üyedir. Okuldan rastgele seçilen bir öğrencinin hem tiyatro hem de müzik kulübüne üye olma olasılığı nedir?

  4. Soru 4

    4. İki farklı torbadan 1. torbada 3 kırmızı 2 beyaz, 2. torbada 4 kırmızı 1 beyaz top vardır. Rastgele bir torba seçilip (iki torbanın seçilme olasılığı eşittir) içinden bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı olduğu görüldüğüne göre, 1. torbadan çekilmiş olma olasılığını veren Bayes formülü adımı hangisidir?

  5. Soru 5

    5. Bir hastalık için geliştirilen tıbbi testin doğruluğu şöyledir: Hasta olan birine test yapıldığında %90 ihtimalle pozitif sonuç vermektedir. Hasta olmayan birine test yapıldığında ise %10 ihtimalle hatalı olarak pozitif sonuç vermektedir. Toplumda bu hastalığın görülme oranı %5'tir. Testi pozitif çıkan birinin GERÇEKTEN bu hastalığa sahip olma olasılığı kaçtır?

1 soru daha seni bekliyor

Ücretsiz kaydol; Geleceği Veriyle Okumak: Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi testini puanlı çöz, XP kazan ve takıldığın yeri yapay zeka öğretmenine sor.

Ücretsiz Kaydol