10. Sınıf Matematik · Ünite 7
Geri Bırakılmayan Toplar: Olaylar Birbirini Nasıl Etkiler?
Torbaya geri atılmayan toplar üzerinden, bir olayın diğerinin olasılığını nasıl değiştirdiğini ve örnek uzayın daraldığını keşfediyoruz.
Kazanım MAT.10.7.1 · 25 dk okuma
Günlük hayatta yaşadığımız birçok olay birbiriyle bağlantılıdır. Örneğin, evdeki meyve sepetinden en sevdiğiniz elmayı alıp yediğinizde, sizden sonra sepete yönelen kardeşinizin o elmayı seçme ihtimali artık kalmamıştır. Sepetteki toplam meyve sayısı azalmış, dolayısıyla geriye kalan meyvelerin seçilme olasılıkları tamamen değişmiştir.
Matematikte de durum tam olarak böyledir. Bir olayın gerçekleşmesi, bir sonraki olayın tüm olası çıktılarını (örnek uzayını) ve istenen durum sayısını etkiliyorsa, olasılık hesabı eskisinden farklı olacaktır. Şimdi bunu meşhur torba deneyimizle inceleyelim.
Torbadan Top Çekme Deneyi
İçinde renkleri dışında birbirinin aynısı olan 3 kırmızı ve 2 mavi top bulunan bir torbamız olduğunu hayal edelim. Toplam 5 topumuz var.
Torbanın içine bakmadan rastgele bir top çektiğimizde, bu topun kırmızı olma olasılığı nedir? İstenen durum sayısı 3 (kırmızı toplar), tüm olası durumların sayısı ise 5'tir.
Burası şimdiye kadar bildiğimiz temel olasılık. Peki asıl sorumuz şu: Çektiğimiz bu kırmızı topu torbaya GERİ ATMADAN ikinci bir top daha çekersek ne olur?
Bu durumda torbanın içindeki dünya değişmiştir! Birinci adımda, torbadaki toplam top sayısı 5'ten 4'e düşmüştür. Yani örnek uzayımız daraldı. İkinci adımda ise, ilk çektiğimiz top kırmızı olduğu için içerideki kırmızı top sayısı da azaldı; artık 3 değil, sadece 2 kırmızı top kaldı.
Artık torbamızda 2 kırmızı ve 2 mavi olmak üzere toplam 4 top var. Şimdi ikinci topun da kırmızı gelme olasılığını yeniden hesaplamalıyız.
İstenen Renk Farklıysa Ne Olur?
Aynı torbadan ilk topu kırmızı çektik ve dışarı ayırdık. İçeride 4 top kaldı (2 kırmızı, 2 mavi). Peki ikinci çekeceğimiz topun bu kez MAVİ olma olasılığı nedir? Toplam top sayımız 4'tür (örnek uzay değişti), fakat içerideki mavi top sayısına hiç dokunmadığımız için o hala 2'dir. Olasılık 2/4 yani 1/2 olur. Gördüğünüz gibi, istenen durum sayısının azalıp azalmadığını mantıksal olarak takip etmemiz gerekir.
Geri Bırakılmayan Toplar: Olaylar Birbirini Nasıl Etkiler?: Alıştırma Soruları
1. Bir torbadan çekilen topun torbaya geri atılmadığı ardışık çekim deneylerinde aşağıdakilerden hangisi kesinlikle gerçekleşir?
- A) Örnek uzay daralır ve sonraki çekimlerin olasılık hesaplaması değişir
- B) Torbaya yeni bir top eklenmiş gibi işlem yapılır
- C) Tüm olayların olasılık değeri her zaman sabit kalır
- D) Örnek uzay genişler ve istenen durum sayısı artar
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Örnek uzay daralır ve sonraki çekimlerin olasılık hesaplaması değişir
Çekilen top geri atılmadığında torbadaki toplam nesne sayısı azalır. Bu da örnek uzayın daralması ve olasılığın farklı hesaplanması anlamına gelir.
2. İçinde 4 yeşil ve 3 sarı bilye bulunan bir kutudan rastgele bir bilye çekiliyor ve geri bırakılmıyor. İkinci bir bilye çekilmeden hemen önce kutudaki tüm olası durumların sayısı (toplam bilye sayısı) kaça düşmüştür?
- A) 7
- B) 6
- C) 5
- D) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 6
Başlangıçta 4+3 = 7 bilye vardır. Bir bilye çekilip dışarıda bırakıldığında kutuda 7 - 1 = 6 bilye kalır.
3. Bir kutuda 5 siyah ve 4 beyaz top vardır. Kutudan çekilen bir siyah top torbaya GERİ ATILMIYOR. Buna göre art arda çekilen ikinci topun siyah olma olasılığı kaçtır?
- A) 5/9
- B) 4/9
- C) 1/2
- D) 5/8
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 1/2
İlk top siyah çekildiği için kutudaki siyah top sayısı 4'e, toplam top sayısı ise 8'e düşer. Yeni olasılık 4/8, sadeleştirildiğinde 1/2 olur.
4. İçinde 2 kırmızı ve 5 mavi top bulunan bir cam fanustan rastgele çekilen ilk top mavi çıkıyor ve kenara ayrılıyor. İkinci topun kırmızı olma olasılığı nedir?
- A) 2/7
- B) 1/3
- C) 1/2
- D) 5/6
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 1/3
Başlangıçta 7 top vardır. Mavi top çekilip ayrılınca geriye 6 top kalır. Kırmızı top sayısında eksilme olmadığı için 2'dir. Olasılık 2/6, sadeleştirirsek 1/3'tür.
5. Bir meyve tabağında görünüşleri benzer 6 tatlı elma ve 4 ekşi elma vardır. Birinci kişi tabaktan bir elma alıp yiyor ve bunun tatlı olduğunu söylüyor. Hemen ardından tabağa yönelen ikinci kişinin ekşi elma seçme olasılığı kaçtır?
- A) 4/10
- B) 4/9
- C) 2/5
- D) 5/9
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 4/9
Tabakta toplam 10 elma varken 1 tatlı elma yendiği için geriye 9 elma kaldı (örnek uzay daraldı). Ekşi elmalara dokunulmadığı için sayıları hala 4'tür. Olasılık 4/9'dur.