10. Sınıf Matematik · Ünite 2
Karesel Referans Fonksiyonu ve Mükemmel Dönüşümler
Karesel referans fonksiyonu f(x) = x²'nin nitel özelliklerini keşfedecek ve bu grafiği öteleyerek yepyeni paraboller oluşturmayı öğreneceğiz.
Kazanım MAT.10.2.2 · 40 dk okuma
Hayatımızda fırlatılan bir basketbol topunun havada çizdiği eğriye ya da asma köprülerin taşıyıcı halatlarına hiç dikkat ettiniz mi? İşte doğada ve mimaride sıkça karşılaştığımız bu mükemmel eğriye 'parabol' diyoruz. Bugün tüm parabollerin atası sayılan karesel referans fonksiyonu ile tanışacağız.
Referans Fonksiyonumuzun Nitel Özellikleri
Bu fonksiyonun grafiği, orijinde (0,0) tepe noktasına sahip, kolları yukarı doğru açılan, simetrik bir 'U' harfine benzer. Hadi bu fonksiyonun matematiksel kimliğini (nitel özelliklerini) detaylıca inceleyelim:
- Tanım Kümesi: Her gerçek sayının (negatif, pozitif veya sıfır) karesini alabiliriz. Dolayısıyla tanım kümemiz tüm gerçek sayılardır (R).
- Görüntü Kümesi: Bir gerçek sayının karesi asla negatif olamaz. Bu nedenle fonksiyonun alabileceği değerler [0, sonsuz) aralığındadır.
- Artanlık ve Azalanlık: x değerleri sıfıra yaklaşırken (negatif sayılarda) karesi küçülür, yani fonksiyon azalandır. Ancak x sıfırdan büyükken x büyüdükçe karesi de büyür, yani fonksiyon artandır.
- Maksimum/Minimum Noktası: Grafiğin en çukur olduğu yer (0,0) noktasıdır ve bu fonksiyonun minimum noktasıdır. Kolları sonsuza uzandığı için maksimum noktası yoktur.
- Teklik/Çiftlik: f(-x) = (-x)² = x² = f(x) olduğu için f(x) bir çift fonksiyondur. Çift fonksiyonların grafiği y eksenine göre tamamen simetriktir.
Fonksiyonu Dönüştürmek: Parabolün Dansı
Referans fonksiyonumuzu a, r ve k gibi katsayılarla oynayarak yepyeni bir fonksiyona dönüştürebiliriz. Bu formüle karesel fonksiyonun tepe noktası formu denir:
Buradaki üç kahramanın (a, r, k) her birinin özel bir görevi vardır:
- 'r' değeri fonksiyonu yatay eksende (sağa veya sola) ötelememizi sağlar. İçerideki eksi işareti kafa karıştırmasın: (x - 3)² ifadesi fonksiyonu 3 birim SAĞA, (x + 3)² ise 3 birim SOLA kaydırır.
- 'k' değeri fonksiyonu dikey eksende (yukarı veya aşağı) taşır. +4 fonksiyonu 4 birim YUKARI taşırken, -2 fonksiyonu 2 birim AŞAĞI indirir.
- 'a' değeri ise parabolün kollarının genişliğini ve yönünü belirler. 'a' pozitifse kollar yukarı, negatifse kollar aşağı (x eksenine göre yansıma) bakar. 'a'nın mutlak değeri büyüdükçe kollar daralır (y eksenine yaklaşır).
Aşağıdaki interaktif alanda a, r ve k sürgüleriyle oynayarak g(x) = a(x-r)²+k fonksiyonunun (mavi) f(x) = x² referans fonksiyonuna (kesik gri) göre nasıl değiştiğini kendin keşfet!
Karesel Referans Fonksiyonu ve Mükemmel Dönüşümler: Alıştırma Soruları
1. f(x) = x² karesel referans fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi nitel özellikleri bakımından DOĞRUDUR?
- A) Tek bir fonksiyondur ve orijine göre simetriktir.
- B) Tanım kümesi sadece pozitif gerçek sayılardan oluşur.
- C) Çift fonksiyondur ve y eksenine göre simetriktir.
- D) Bire bir ve örten bir fonksiyondur.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Çift fonksiyondur ve y eksenine göre simetriktir.
f(-x) = (-x)² = x² = f(x) eşitliğini sağladığından f(x) çift fonksiyondur. Tüm çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
2. g(x) = (x - 4)² + 3 fonksiyonunun tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (-4, 3)
- B) (4, 3)
- C) (-4, -3)
- D) (4, -3)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (4, 3)
Bir parabol g(x) = a(x - r)² + k biçiminde yazıldığında tepe noktası (r, k) olur. Verilen denklemde r=4 ve k=3 olduğu için tepe noktası (4, 3) olarak bulunur.
3. f(x) = x² fonksiyonunun grafiği yatay eksen boyunca 3 birim sola, dikey eksen boyunca 5 birim aşağı öteleniyor. Elde edilen yeni g(x) fonksiyonunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) g(x) = (x - 3)² - 5
- B) g(x) = (x + 3)² - 5
- C) g(x) = (x - 3)² + 5
- D) g(x) = (x + 3)² + 5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) g(x) = (x + 3)² - 5
Grafiği sola doğru 3 birim ötelemek, x yerine (x+3) yazmayı gerektirir. Aşağı doğru 5 birim ötelemek ise fonksiyondan 5 çıkarmak anlamına gelir. Bu işlemler sonucu g(x) = (x + 3)² - 5 elde edilir.
4. g(x) = -3(x - 1)² + 4 fonksiyonu incelendiğinde aşağıda verilen bilgilerden hangisi YANLIŞTIR?
- A) Fonksiyonun tepe noktası (1, 4) koordinatlarındadır.
- B) Fonksiyon (-sonsuz, 1) aralığında artandır.
- C) Fonksiyonun alabileceği en küçük değer 4'tür.
- D) Parabolün kolları x ekseninin negatif yönüne (aşağı) doğru bakar.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Fonksiyonun alabileceği en küçük değer 4'tür.
Fonksiyonda a = -3 (negatif) olduğundan parabolün kolları aşağı yönlüdür ve fonksiyon bir maksimum noktaya sahiptir. Tepe noktasının y değeri olan 4, fonksiyonun alabileceği EN BÜYÜK değerdir. En küçük değeri yoktur.
5. Tepe noktası T(-2, 1) olan ve y eksenini y = -7 noktasında kesen karesel fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) g(x) = -2(x + 2)² + 1
- B) g(x) = 2(x - 2)² + 1
- C) g(x) = -2(x - 2)² + 1
- D) g(x) = 2(x + 2)² - 1
Cevabı göster
Doğru cevap: A) g(x) = -2(x + 2)² + 1
Tepe noktası bilinen parabol denklemi g(x) = a(x - r)² + k'dir. r = -2 ve k = 1 yerleştirilirse g(x) = a(x + 2)² + 1 olur. Grafik (0, -7) noktasından geçtiği için; -7 = a(0 + 2)² + 1 denklemini çözersek, -8 = 4a ve buradan a = -2 bulunur. Sonuç: g(x) = -2(x + 2)² + 1.