10. Sınıf Matematik · Ünite 2
Gerçek Hayatın Matematiksel Modeli: Fonksiyonlar
Günlük yaşamdan hareketle fonksiyon kavramını, tanım ve görüntü kümelerini ve doğrusal fonksiyonların şartlarını keşfediyoruz.
Kazanım MAT.10.2.1 · 40 dk okuma
Hayatımızdaki Gizli Fonksiyonlar
Hiç internetten sipariş verdiğiniz bir kargonun veya yemeğin haritadaki hareketini izlediniz mi? Kuryenin konumu saniyeler geçtikçe değişir ve biz bu hareketi anlık olarak takip ederiz. İşte bu sıradan gibi görünen günlük olay, aslında kusursuz bir matematiksel fonksiyondur!
Neden Bir Fonksiyon?
Bir kuryenin konumunu, zamanın bir çıktısı olarak düşünelim. Matematiksel bir model kurduğumuzda girdimiz (bağımsız değişken) zaman, çıktımız (bağımlı değişken) ise kuryenin haritadaki konumu olacaktır.
- Zaman asla geriye akmaz ve negatif olamaz. Bu nedenle bu modelde Tanım Kümesi (girdiler) sıfır ve pozitif gerçek sayılardır.
- Kuryenin restoran ile eviniz arasındaki alabileceği tüm konumlar ise elde edebileceğimiz sonuçlardır, bu da Görüntü Kümesini oluşturur.
Doğrusal Fonksiyonlarla Modelleme
Şimdi kuryenin sabit bir hızla, dakikada 200 metre ilerlediğini varsayalım. Geçen süreyi x, başlangıç noktasına olan uzaklığı y ile gösterirsek aralarındaki ilişkiyi cebirsel olarak şöyle ifade edebiliriz:
Bu bir doğrusal fonksiyondur. Değişkenler arasındaki ilişki sabit bir orana dayanır. Bu fonksiyonun grafiğini çizdiğimizde orijinden başlayan düz bir çizgi elde ederiz.
Bir grafiğin fonksiyon olup olmadığını anlamak için Dikey Doğru Testi uygularız. Grafiğe yukarıdan aşağıya hayali dikey çizgiler çizdiğimizde, her çizgi grafiği sadece bir noktada kesiyorsa bu ilişki bir fonksiyondur. Kurye örneğimizde zamanı temsil eden x eksenindeki herhangi bir an, konum grafiğini tek bir noktada keser. Bu da kuryenin o anda sadece tek bir yerde olduğunu kanıtlar.
Gerçek Hayatın Matematiksel Modeli: Fonksiyonlar: Alıştırma Soruları
1. Bir hareketlinin zamana bağlı konumunu modelleyen bir grafiğin fonksiyon olmasını sağlayan temel mantık aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Hareketlinin hızının sürekli artması
- B) Hareketlinin aynı anda iki farklı konumda bulunamaması
- C) Zamanın her zaman negatif değerler alması
- D) Gidilen yolun her zaman tam sayı olması
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Hareketlinin aynı anda iki farklı konumda bulunamaması
Bir fonksiyonun en temel kuralı, bir girdinin sadece bir çıktısı olmasıdır. Fiziksel olarak bir kişi aynı anda iki yerde olamayacağı için zaman-konum bağıntıları fonksiyondur.
2. Bir bitkinin boyunun haftalara göre gelişimini gösteren f(x) fonksiyonunda, 'x' girdisinin (hafta) oluşturduğu tanım kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Sadece negatif sayılardır.
- B) Tüm gerçek sayılardır.
- C) Negatif olmayan gerçek sayılardır.
- D) Sadece çift sayılardır.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Negatif olmayan gerçek sayılardır.
Zaman geriye doğru akmayacağı ve negatif olamayacağı için (0. hafta dahil) tanım kümesi negatif olmayan gerçek sayılardan oluşur.
3. Aylık 50 TL sabit ücreti ve kullanılan her 1 GB internet için 10 TL ek ücreti olan bir telefon tarifesinin faturası fonksiyon olarak modellenecektir. Kullanılan internet miktarı x (GB) olmak üzere f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) f(x) = 50x + 10
- B) f(x) = 10x + 50
- C) f(x) = 60x
- D) f(x) = 10x - 50
Cevabı göster
Doğru cevap: B) f(x) = 10x + 50
Sabit ücret 50 TL'dir ve kullanıma bağlı değildir. Her x GB için 10 TL ödendiğinden değişken kısım 10x olur. Bu yüzden doğrusal fonksiyon f(x) = 10x + 50 şeklinde modellenir.
4. Koordinat düzleminde verilen bir grafiğin y eksenine paralel (dikey) doğrular çizilerek fonksiyon olup olmadığının incelenmesine 'Dikey Doğru Testi' denir. Çizilen dikey doğrulardan en az biri grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, bu grafik neden bir fonksiyon belirtmez?
- A) Tanım kümesinde açıkta eleman kaldığı için
- B) Değer kümesinde açıkta eleman kaldığı için
- C) Tanım kümesindeki bir eleman, değer kümesinde birden fazla elemanla eşleştiği için
- D) Görüntü kümesi tanım kümesinden büyük olduğu için
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Tanım kümesindeki bir eleman, değer kümesinde birden fazla elemanla eşleştiği için
Dikey doğrunun grafiği iki noktada kesmesi, x eksenindeki tek bir değerin (girdinin), y ekseninde iki farklı değere (çıktıya) gitmesi anlamına gelir. Bu da fonksiyon olma şartını bozar.
5. İçinde 400 litre su bulunan bir havuzun dibindeki musluk, havuzdaki suyu dakikada 8 litre hızla boşaltmaktadır. Zamana (t dakika) bağlı havuzda kalan su miktarını veren V(t) fonksiyonunun tanım kümesi (t değerleri) hangi aralıkta olmalıdır?
- A) 0 ≤ t ≤ 50
- B) 0 ≤ t ≤ 8
- C) 8 ≤ t ≤ 400
- D) 0 ≤ t ≤ 400
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 0 ≤ t ≤ 50
Havuzdaki su denklemi V(t) = 400 - 8t olur. Su miktarı negatif olamayacağı için 400 - 8t ≥ 0 eşitsizliğinden 8t ≤ 400 ve t ≤ 50 bulunur. Zaman negatif olamayacağından t ≥ 0 olmalıdır. Bu nedenle tanım kümesi [0, 50] aralığıdır.