11. Sınıf Matematik · Ünite 2
Çokgenlerin Sırrını Çözmek: Farabi'den Günümüze Köşegenler ve Üçgenler
Dışbükey çokgenlerin bir köşesinden çizilebilecek köşegen sayısını ve bu köşegenlerin oluşturduğu üçgen sayısını keşfediyoruz.
Kazanım MAT.11.2.4 · 40 dk okuma
Tarihten Gelen Merak: Farabi ve Geometri
İslam dünyasının en büyük düşünürlerinden Farabi, sadece felsefe ve müzikle değil, aynı zamanda geometriyle de yakından ilgilenmiştir. Farabi, dışbükey dörtgen, beşgen ve daha çok kenarlı çokgenleri parçalara ayırarak onların iç yapısını incelemiş, karmaşık şekilleri daha basit yapı taşları olan üçgenlere dönüştürerek anlamlandırmaya çalışmıştır. Bugün biz de onun izinden gidecek ve çokgenlerin içindeki gizli üçgenleri keşfedeceğiz.
Bir Köşeden Başlayan Yolculuk
Elimizde n kenarlı dışbükey bir çokgen olduğunu düşünelim. Acaba sadece tek bir köşeyi seçip, o köşeden diğer tüm köşelere çizgiler (köşegenler) çekersek ne olur? Gelin bunu bir beşgen üzerinde deneyerek gözlem yapalım.
Yukarıdaki beşgen örneğinde en üstteki kırmızı köşeyi seçtik ve diğer köşelere kesik çizgilerle köşegenler çizdik. Gördüğünüz gibi, bir beşgenin tek bir köşesinden sadece 2 adet köşegen çizebildik ve şeklimiz tam 3 farklı üçgensel bölgeye ayrıldı.
Gözlemlerimizi Birleştirelim: Örüntüyü Bulmak
Şimdi sırasıyla farklı çokgenler için kenar sayısı, bir köşeden çizilen köşegen sayısı ve oluşan üçgen sayısını belirleyelim:
- Üçgen (3 kenarlı): Bir köşeden 0 köşegen çizilir, 1 üçgen oluşur.
- Dörtgen (4 kenarlı): Bir köşeden 1 köşegen çizilir, 2 üçgen oluşur.
- Beşgen (5 kenarlı): Bir köşeden 2 köşegen çizilir, 3 üçgen oluşur.
- Altıgen (6 kenarlı): Bir köşeden 3 köşegen çizilir, 4 üçgen oluşur.
- Yedigen (7 kenarlı): Bir köşeden 4 köşegen çizilir, 5 üçgen oluşur.
Bu örüntüyü n kenarlı dışbükey bir çokgene genellersek, matematiksel modellerimiz şu şekilde olacaktır. Bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı:
Bu köşegenlerin çokgenin içinde oluşturduğu üçgensel bölge sayısı:
Günlük Hayatta Üçgenleme (Triangulation)
Çokgenleri üçgenlere bölme işlemi sadece kağıt üzerinde bir kuraldan ibaret değildir. Bugün oynadığınız video oyunlarında ve izlediğiniz animasyonlarda karmaşık 3 boyutlu yüzeyler aslında binlerce küçük üçgenin birleşmesinden oluşur. Farabi'nin yüzyıllar önce çokgenleri parçalayarak yaptığı bu keşif, modern bilgisayar grafiklerinin temel algoritmalarıyla doğrudan ilişkilidir.
Çokgenlerin Sırrını Çözmek: Farabi'den Günümüze Köşegenler ve Üçgenler: Alıştırma Soruları
1. 8 kenarlı dışbükey bir çokgenin (sekizgen) bir köşesinden kaç tane köşegen çizilebilir?
- A) 4
- B) 5
- C) 6
- D) 7
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 5
n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı n-3 formülüyle bulunur. n=8 için 8-3=5 olarak hesaplanır.
2. 10 kenarlı bir dışbükey çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenler, bu çokgeni kaç adet üçgensel bölgeye ayırır?
- A) 7
- B) 8
- C) 9
- D) 10
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 8
Bir çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenler şekli n-2 adet üçgene ayırır. n=10 olduğuna göre 10-2=8 adet üçgen oluşur.
3. Bir köşesinden 9 adet köşegen çizilebilen dışbükey bir çokgenin toplam kenar sayısı kaçtır?
- A) 10
- B) 11
- C) 12
- D) 13
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 12
Bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı n-3 tür. Soru bize n-3 = 9 bilgisini vermiştir. Buradan n = 12 bulunur.
4. Dışbükey bir çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenlerle oluşan üçgen sayısı 15'tir. Bu çokgenin bir köşesinden kaç adet köşegen çizilmiştir?
- A) 13
- B) 14
- C) 15
- D) 16
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 14
Oluşan üçgen sayısı n-2 = 15 olduğuna göre bu çokgen 17 kenarlıdır (n=17). Bir köşeden çizilen köşegen sayısı n-3 olduğuna göre, 17-3 = 14 köşegen çizilmiştir.
5. Bir dışbükey çokgenin bir köşesinden çizilen köşegen sayısı ile bu köşegenlerin ayırdığı üçgen sayısının toplamı 23'tür. Bu çokgen kaç kenarlıdır?
- A) 11
- B) 12
- C) 13
- D) 14
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 14
Köşegen sayısı (n-3) ile üçgen sayısının (n-2) toplamı verilmiştir: (n-3) + (n-2) = 23. Bu denklemi çözersek 2n - 5 = 23, buradan 2n = 28 ve n = 14 olarak bulunur.