11. Sınıf Matematik · Ünite 2
Özel Dörtgenler Arasındaki Gizli Bağlar
Özel dörtgenlerin sadece bağımsız şekiller olmadığını, kenar, açı ve köşegen özellikleriyle birbirlerine dönüşebilen büyük bir aile olduklarını keşfedeceğiz.
Kazanım MAT.11.2.2 · 40 dk okuma
Merhaba gençler! Geometri derslerinde şekilleri genellikle birbirinden bağımsız dünyalara sahipmiş gibi öğreniriz. Ancak tıpkı canlılar dünyasındaki soy ağaçları gibi, dörtgenler evreninde de muazzam bir akrabalık bağı vardır. Bugün, özel dörtgenleri sadece kurallarıyla değil, birbirleriyle olan hiyerarşik ilişkileriyle inceleyeceğiz.
Dörtgenlerin Genetik Şifreleri
Herhangi bir dörtgene bazı özel 'genetik' kodlar ekleyerek onu bambaşka bir şekle dönüştürebilirsiniz. Bu şifreler şunlardır: kenarların paralelliği, kenar uzunluklarının eşitliği, açıların 90 derece olması ve köşegenlerin kesişim özellikleri. Gelin en çarpıcı örneğe, Deltoid'e bakalım.
Deltoid'in Dönüşümü
Deltoid, ikişer komşu kenarı birbirine eşit olan bir dörtgendir ve köşegenleri daima dik kesişir. Peki bir deltoidin 'karşılıklı açıları eşit' olsaydı ne olurdu? Eğer bir deltoidin karşılıklı açılarını eşitlerseniz, o şekil otomatik olarak bir Eşkenar Dörtgen'e dönüşür! Bunu tam tersi yönden de söyleyebiliriz:
Dörtgenler Soy Ağacı (Kavram Haritası)
Kelimelerle anlattığımız bu ilişkileri zihnimizde kalıcı kılmak için bir akış şeması, yani bir kavram haritası oluşturalım. Aşağıdaki şemayı dikkatle inceleyin; oklar, bir şekle yeni özellikler eklenerek alttaki şeklin nasıl elde edildiğini gösterir.
Bu şemada görebileceğiniz gibi, geometride özellikler birikimli olarak ilerler. Bu durumu küme mantığı ile matematiksel olarak ifade edecek olursak, Kare hem Dikdörtgenlerin hem de Eşkenar Dörtgenlerin kesişim kümesidir:
Köşegenlerin Bize Anlattıkları
- Eğer bir dörtgenin köşegenleri birbirini ortalıyorsa, o kesinlikle bir PARALELKENAR'dır.
- Eğer birbirini ortalayan bu köşegenler aynı zamanda eşit uzunluktaysa, şekil DİKDÖRTGEN olur.
- Eğer birbirini ortalayan bu köşegenler dik kesişiyorsa, şekil EŞKENAR DÖRTGEN olur.
- Eğer köşegenler hem ortalıyor, hem eşit uzunlukta, hem de dik kesişiyorsa, işte o zaman kusursuz şekil olan KARE ile karşı karşıyayız demektir!
Köprü kurma öğrenme eylemimiz gereği, bilgileri birbirinden kopuk ezberlemek yerine, 'Hangi özellik eklenirse şekil kime dönüşür?' sorusunu kendinize sormanız, geometri netlerinizi sıçratacak temel düşünce tarzıdır.
Özel Dörtgenler Arasındaki Gizli Bağlar: Alıştırma Soruları
1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi eşkenar dörtgeni, deltoid cinsinden doğru bir şekilde tanımlar?
- A) Karşılıklı kenarları paralel olan bir deltoiddir.
- B) Karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşit olan bir deltoiddir.
- C) Köşegenleri birbirine eşit olan bir deltoiddir.
- D) Sadece bir çift paralel kenarı bulunan bir deltoiddir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşit olan bir deltoiddir.
Normalde bir deltoidin sadece tepe açıları (farklı uzunluktaki kenarların kesiştiği açılar) dışındaki diğer karşılıklı iki açısı eşittir. Eğer tepe açıları da eşitlenirse, yani tüm karşılıklı açılar eşit olursa, şekil otomatik olarak eşkenar dörtgene dönüşür.
2. Bir geometri dersinde öğretmen, 'Seçtiğim özel dörtgenin köşegenleri kesinlikle birbirine dik kesişmektedir' demiştir. Buna göre öğretmenin aklından tuttuğu şekil aşağıdakilerden hangisi OLAMAZ?
- A) Deltoid
- B) Eşkenar Dörtgen
- C) Kare
- D) Dikdörtgen
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Dikdörtgen
Deltoid, eşkenar dörtgen ve karenin köşegenleri her zaman birbirine dik kesişir. Ancak bir dikdörtgenin köşegenleri sadece uzunluk olarak eşittir ve birbirini ortalar, aralarındaki açı özel olarak kare olmadığı sürece 90 derece değildir.
3. Özel dörtgenler arasındaki kapsayıcılık ilişkisi düşünüldüğünde aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle YANLIŞTIR?
- A) Her kare aynı zamanda bir eşkenar dörtgendir.
- B) Her eşkenar dörtgen aynı zamanda bir deltoiddir.
- C) Her paralelkenar aynı zamanda bir yamuktur.
- D) Her deltoid aynı zamanda bir paralelkenardır.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Her deltoid aynı zamanda bir paralelkenardır.
Her kare bir eşkenar dörtgendir (tüm kenarları eşit). Her eşkenar dörtgen bir deltoiddir (komşu iki kenar eşitliği şartını sağlar). Her paralelkenar bir yamuktur (en az bir çift paralel kenar şartını sağlar). Ancak bir deltoidin kenarları paralel olmak zorunda değildir, bu yüzden her deltoid paralelkenar olamaz.
4. Bir ABCD dörtgeninde köşegenlerin (AC ve BD) birbirini ortaladığı bilinmektedir. Bu şeklin bir dikdörtgen olduğu sonucuna varabilmek için aşağıdakilerden hangisinin BİLİNMESİ YETERLİDİR?
- A) Köşegenlerin dik kesişmesi
- B) Karşılıklı kenarların paralel olması
- C) Köşegen uzunluklarının birbirine eşit olması
- D) Komşu kenarların birbirine eşit olması
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Köşegen uzunluklarının birbirine eşit olması
Köşegenlerin birbirini ortalaması şeklin paralelkenar olduğunu garantiler. Bir paralelkenarın köşegen uzunlukları da birbirine eşitse, o şekil kesinlikle bir dikdörtgendir.
5. Sınıfta yapılan bir tartışmada üç öğrenci şu iddialarda bulunmuştur: Ali: 'İç açılarının hepsi 90 derece olan her paralelkenar, karedir.' Ayşe: 'Tüm kenar uzunlukları eşit olan her deltoid, eşkenar dörtgendir.' Can: 'Köşegenleri dik kesişen her dikdörtgen, karedir.' Hangi öğrencilerin ifadeleri kesinlikle doğrudur?
- A) Yalnız Ayşe
- B) Ayşe ve Can
- C) Ali ve Can
- D) Ali, Ayşe ve Can
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Ayşe ve Can
Ali'nin ifadesi yanlıştır; iç açıları 90 derece olan paralelkenar bir dikdörtgendir, kare olmak zorunda değildir. Ayşe'nin ifadesi doğrudur; tüm kenarları eşit olan deltoid eşkenar dörtgendir. Can'ın ifadesi doğrudur; bir dikdörtgenin köşegenleri dik kesişiyorsa o şekil karedir. Doğru cevap Ayşe ve Can.