Online Kolej
Kayıt Ol

11. Sınıf Matematik · Ünite 1

Trigonometrik Denklemlerle Hayatın Ritimlerini Çözmek

Günlük hayattaki dönme dolaplar, su seviyeleri gibi periyodik olayları trigonometrik denklemler kullanarak nasıl matematiksel modellere dönüştüreceğimizi ve bu denklemleri nasıl çözeceğimizi inceliyoruz.

Kazanım MAT.11.1.2 · 40 dk okuma

Hayatın İçindeki Tekrar: Periyodik Olaylar

Çevremize dikkatlice bakarsak pek çok şeyin belli aralıklarla kendini tekrar ettiğini görürüz. Güneşin doğuşu, denizdeki gelgit dalgaları, kalbimizin atışı veya bir sarkaçlı saatin hareketi... Tüm bu olayların ortak noktası periyodik olmalarıdır. Matematikte bu döngüsel hareketleri ifade etmek için en güçlü araçlarımız trigonometrik fonksiyonlardır. Bir problemin içinde bir döngü ve bulunması gereken bir zaman ya da açı değeri varsa, orada mutlaka bir trigonometrik denklem yatmaktadır.

Gerçek Hayattan Bir Problem: Dönme Dolap

Bir lunaparka gittiğinizi ve dev bir dönme dolaba bindiğinizi hayal edin. Dönme dolaba bindiğiniz an yerden yüksekliginiz 5 metre, en tepeye ulaştığınızda ise 25 metre olsun. Bu dönme dolabın yerden yüksekliğinin zamana (t saniye cinsinden) bağlı değişimi, bir kosinüs fonksiyonu ile modellenebilir.

h(t)=15−10cos⁡(πt30)h(t) = 15 - 10\cos\left(\frac{\pi t}{30}\right)

Peki siz tam olarak yerden 20 metre yüksekliğe ilk kez kaçıncı saniyede ulaşırsınız? Bu problemi çözmek için yukarıdaki fonksiyonu 20'ye eşitlememiz, yani bir trigonometrik denklem kurmamız gerekir.

15−10cos⁡(πt30)=2015 - 10\cos\left(\frac{\pi t}{30}\right) = 20

Cebirsel Çözüm Adımları

Denklemdeki trigonometrik ifadeyi adım adım yalnız bırakalım. Önce her iki taraftan 15 çıkarırız, ardından her iki tarafı -10'a böleriz.

cos⁡(πt30)=−12\cos\left(\frac{\pi t}{30}\right) = -\frac{1}{2}

Şimdi kendimize şu soruyu soruyoruz: Kosinüsün değeri hangi açıda -1/2 olur? Birim çemberi düşündüğümüzde, kosinüsün negatif olduğu bölgeler 2. ve 3. bölgelerdir. En temel açımız 120 derece, yani 2pi/3 radyandır.

πt30=2π3\frac{\pi t}{30} = \frac{2\pi}{3}

Bu eşitlikten t değerini çektiğimizde t = 20 saniye buluruz. Yani dönme dolap hareket etmeye başladıktan tam 20 saniye sonra 20 metre yüksekliğe ulaşırsınız.

touch_appEtkileşimli

Yukarıdaki etkileşimli grafikte mavi eğri dönme dolabın yüksekliğini, kırmızı kesikli çizgi ise hedeflediğimiz 20 metre sınırını göstermektedir. Eğri ile çizginin kesiştiği ilk nokta tam olarak bizim cebirsel olarak bulduğumuz 20. saniyedir. Gördüğünüz gibi bir olayı temsil eden farklı bileşenler (denklem ve grafik) aynı stratejiyi doğrular.

Çözüm Kümesini Genelleştirmek

Dönme dolap dönmeye devam edeceği için, 20 metre yüksekliğe birden fazla kez ulaşacaksınız. Bu nedenle trigonometrik denklemlerin çözüm kümesini yazarken mutlaka periyodik dönüşleri eklemeliyiz.

auto_awesome

Trigonometrik Denklemlerle Hayatın Ritimlerini Çözmek: Alıştırma Soruları

  1. Soru 1

    1. Bir trigonometrik denklem çözerken 0 ile 360 derece aralığında sin(x) = 1/2 eşitliğini buldunuz. Buna göre bu denklemi sağlayan x açılarının toplamı kaç derecedir?

  2. Soru 2

    2. Bir öğrenci tan(2x) = 1 denklemini modelleme sorusunda kullanmaktadır. Çözüm kümesini genelleştirmek için bulduğu temel köke hangi ifadeyi eklemelidir? (k bir tam sayı)

  3. Soru 3

    3. Bir limandaki suyun metre cinsinden derinliği d(t) = 8 + 3sin(pi*t/6) fonksiyonu ile modellenmektedir (t, saat cinsinden zamanı temsil etmektedir). Buna göre suyun derinliği ilk kez hangi saatte 9.5 metre olur?

  4. Soru 4

    4. Bir yayın ucuna asılan cismin denge noktasına uzaklığı y(t) = 4cos(2*pi*t) denklemiyle veriliyor. Cisim denge noktasına (y=0 konumuna) ilk kez kaçıncı saniyede gelir?

  5. Soru 5

    5. cos²(x) - sin²(x) = 1/2 denkleminin 0 ile pi aralığındaki en küçük kökü aşağıdakilerden hangisidir?

1 soru daha seni bekliyor

Ücretsiz kaydol; Trigonometrik Denklemlerle Hayatın Ritimlerini Çözmek testini puanlı çöz, XP kazan ve takıldığın yeri yapay zeka öğretmenine sor.

Ücretsiz Kaydol