11. Sınıf Matematik · Ünite 1
Trigonometrik Denklemlerle Hayatın Ritimlerini Çözmek
Günlük hayattaki dönme dolaplar, su seviyeleri gibi periyodik olayları trigonometrik denklemler kullanarak nasıl matematiksel modellere dönüştüreceğimizi ve bu denklemleri nasıl çözeceğimizi inceliyoruz.
Kazanım MAT.11.1.2 · 40 dk okuma
Hayatın İçindeki Tekrar: Periyodik Olaylar
Çevremize dikkatlice bakarsak pek çok şeyin belli aralıklarla kendini tekrar ettiğini görürüz. Güneşin doğuşu, denizdeki gelgit dalgaları, kalbimizin atışı veya bir sarkaçlı saatin hareketi... Tüm bu olayların ortak noktası periyodik olmalarıdır. Matematikte bu döngüsel hareketleri ifade etmek için en güçlü araçlarımız trigonometrik fonksiyonlardır. Bir problemin içinde bir döngü ve bulunması gereken bir zaman ya da açı değeri varsa, orada mutlaka bir trigonometrik denklem yatmaktadır.
Gerçek Hayattan Bir Problem: Dönme Dolap
Bir lunaparka gittiğinizi ve dev bir dönme dolaba bindiğinizi hayal edin. Dönme dolaba bindiğiniz an yerden yüksekliginiz 5 metre, en tepeye ulaştığınızda ise 25 metre olsun. Bu dönme dolabın yerden yüksekliğinin zamana (t saniye cinsinden) bağlı değişimi, bir kosinüs fonksiyonu ile modellenebilir.
Peki siz tam olarak yerden 20 metre yüksekliğe ilk kez kaçıncı saniyede ulaşırsınız? Bu problemi çözmek için yukarıdaki fonksiyonu 20'ye eşitlememiz, yani bir trigonometrik denklem kurmamız gerekir.
Cebirsel Çözüm Adımları
Denklemdeki trigonometrik ifadeyi adım adım yalnız bırakalım. Önce her iki taraftan 15 çıkarırız, ardından her iki tarafı -10'a böleriz.
Şimdi kendimize şu soruyu soruyoruz: Kosinüsün değeri hangi açıda -1/2 olur? Birim çemberi düşündüğümüzde, kosinüsün negatif olduğu bölgeler 2. ve 3. bölgelerdir. En temel açımız 120 derece, yani 2pi/3 radyandır.
Bu eşitlikten t değerini çektiğimizde t = 20 saniye buluruz. Yani dönme dolap hareket etmeye başladıktan tam 20 saniye sonra 20 metre yüksekliğe ulaşırsınız.
Yukarıdaki etkileşimli grafikte mavi eğri dönme dolabın yüksekliğini, kırmızı kesikli çizgi ise hedeflediğimiz 20 metre sınırını göstermektedir. Eğri ile çizginin kesiştiği ilk nokta tam olarak bizim cebirsel olarak bulduğumuz 20. saniyedir. Gördüğünüz gibi bir olayı temsil eden farklı bileşenler (denklem ve grafik) aynı stratejiyi doğrular.
Çözüm Kümesini Genelleştirmek
Dönme dolap dönmeye devam edeceği için, 20 metre yüksekliğe birden fazla kez ulaşacaksınız. Bu nedenle trigonometrik denklemlerin çözüm kümesini yazarken mutlaka periyodik dönüşleri eklemeliyiz.
Trigonometrik Denklemlerle Hayatın Ritimlerini Çözmek: Alıştırma Soruları
1. Bir trigonometrik denklem çözerken 0 ile 360 derece aralığında sin(x) = 1/2 eşitliğini buldunuz. Buna göre bu denklemi sağlayan x açılarının toplamı kaç derecedir?
- A) 30°
- B) 150°
- C) 180°
- D) 210°
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 180°
Sinüs fonksiyonu 1. ve 2. bölgede pozitiftir. sin(x) = 1/2 denkleminin bu aralıktaki kökleri x=30° ve x=150°'dir. Bu iki kökün toplamı 30 + 150 = 180 derecedir.
2. Bir öğrenci tan(2x) = 1 denklemini modelleme sorusunda kullanmaktadır. Çözüm kümesini genelleştirmek için bulduğu temel köke hangi ifadeyi eklemelidir? (k bir tam sayı)
- A) k·180°
- B) k·360°
- C) k·90°
- D) k·45°
Cevabı göster
Doğru cevap: C) k·90°
Tanjant fonksiyonunun periyodu 180°'dir. tan(2x) = 1 için 2x açısına k·180° eklenir. x'i yalnız bıraktığımızda periyot da ikiye bölünür ve her kök için k·90° eklenmesi gerekir.
3. Bir limandaki suyun metre cinsinden derinliği d(t) = 8 + 3sin(pi*t/6) fonksiyonu ile modellenmektedir (t, saat cinsinden zamanı temsil etmektedir). Buna göre suyun derinliği ilk kez hangi saatte 9.5 metre olur?
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 1
Denklemi kurarız: 8 + 3sin(pi*t/6) = 9.5. Buradan 3sin(pi*t/6) = 1.5 ve sin(pi*t/6) = 1/2 bulunur. Sinüsün 1/2 olduğu ilk temel açı pi/6'dır. pi*t/6 = pi/6 eşitliğinden t = 1 bulunur.
4. Bir yayın ucuna asılan cismin denge noktasına uzaklığı y(t) = 4cos(2*pi*t) denklemiyle veriliyor. Cisim denge noktasına (y=0 konumuna) ilk kez kaçıncı saniyede gelir?
- A) 1/8
- B) 1/4
- C) 1/2
- D) 1
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 1/4
Denge noktası için y(t)=0 alınır. 4cos(2*pi*t) = 0 ise cos(2*pi*t) = 0 olmalıdır. Kosinüsün 0 olduğu ilk açı pi/2'dir. 2*pi*t = pi/2 denkleminden t = 1/4 saniye bulunur.
5. cos²(x) - sin²(x) = 1/2 denkleminin 0 ile pi aralığındaki en küçük kökü aşağıdakilerden hangisidir?
- A) pi/12
- B) pi/8
- C) pi/6
- D) pi/4
Cevabı göster
Doğru cevap: C) pi/6
Yarım açı formüllerinden cos²(x) - sin²(x) = cos(2x) olduğunu biliyoruz. O halde denklem cos(2x) = 1/2 şekline dönüşür. Kosinüsün 1/2 olduğu en küçük pozitif açı pi/3'tür. 2x = pi/3 ise x = pi/6 radyan olur.