11. Sınıf Matematik · Ünite 1
Trigonometrik Fonksiyonların Anatomisi ve Dönüşümleri
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyot, genlik, teklik-çiftlik gibi temel özelliklerini keşfedecek ve dalga grafiklerinin dönüşümlerini inceleyeceğiz.
Kazanım MAT.11.1.1 · 40 dk okuma
Evrendeki pek çok olay kendini tekrar eden bir ritme sahiptir. Mevsimlerin döngüsü, kalbimizin atışı, müzikteki ses dalgaları veya denizin gelgitleri... İşte matematikte bu döngüsel hareketleri modellemek için trigonometrik fonksiyonları kullanırız. Bu derste, temel trigonometrik fonksiyonların anatomisini inceleyecek ve grafiklerinin matematiksel dokunuşlarla nasıl dönüştürüldüğünü keşfedeceğiz.
Temel Referans Fonksiyonlarımız: Sinüs ve Kosinüs
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının tanım kümesi tüm gerçek sayılardır. Görüntü kümeleri ise daima kapalı [-1, 1] aralığıdır. Ne yaparsanız yapın, standart bir sinüs veya kosinüs dalgasını bu sınırların dışına çıkaramazsınız!
- Periyotları 2\pi'dir. Yani yatay eksende her 2\pi birimde bir aynı dalga desenini tekrarlarlar. Sürekli tekrar ettikleri için gerçek sayılar kümesinde 'bire bir' değildirler.
- Teklik-Çiftlik: Sinüs orijine göre simetrik olan tek bir fonksiyondur, yani f(-x) = -f(x). Kosinüs ise y eksenine göre simetrik olan çift bir fonksiyondur, f(-x) = f(x).
Asi Kardeşler: Tanjant ve Kotanjant
Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının karakteri biraz daha farklıdır. Görüntü kümeleri tüm gerçek sayılardır (yani eksi sonsuzdan artı sonsuza dikine uzanırlar). Ancak tanım kümelerinde paydanın sıfır olduğu asimptot noktaları dışlanmalıdır.
- Periyotları \pi'dir. Yani her \pi birimde bir kendilerini tekrar ederler.
- Her ikisi de tek fonksiyondur.
Grafik Dönüşümleri: Kontrol Sende!
Bir trigonometrik fonksiyonu cebirsel olarak aşağıdaki formda yazdığımızda, grafikteki dalgayı istediğimiz gibi büküp öteleyebiliriz:
- k (Genlik Katsayısı): Dalgayı dikey olarak uzatır veya basıklaştırır. Örneğin 3sin(x) fonksiyonunun görüntü kümesi [-3, 3] olur.
- m (Frekans Çarpanı): Dalganın periyodunu değiştirir. Yatay eksende daralma veya genişleme yaratır.
- r (Faz Kayması): Dalgayı sağa veya sola doğru öteler.
- s (Düşey Öteleme): Tüm dalgayı dikey eksende yukarı veya aşağı taşır.
Günlük Hayattan Modelleme Örneği
Diyelim ki bir yay ucundaki ağırlığın yüksekliğini modelliyorsunuz. Ağırlığı denge noktasından 5 cm yukarı çektiniz ve bıraktınız. Ağırlığın yüksekliği bir kosinüs dalgası çizecektir. Eğer hareketin tam bir döngüsü (periyot) 2 saniye sürüyorsa, ağırlığın konum fonksiyonu y(t) = 5cos(\pi t) olur!
Trigonometrik Fonksiyonların Anatomisi ve Dönüşümleri: Alıştırma Soruları
1. f(x) = -4 \sin(2x + 1) + 3 fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) [-1, 7]
- B) [-4, 4]
- C) [3, 7]
- D) [-1, 1]
Cevabı göster
Doğru cevap: A) [-1, 7]
Sinüs fonksiyonu standart olarak [-1, 1] aralığında değerler alır. Bu aralığı -4 ile çarparsak sınırları [-4, 4] olur. Son olarak her değere 3 eklediğimizde [-4+3, 4+3] işlemiyle [-1, 7] aralığını buluruz.
2. g(x) = \tan(5x - \pi/4) fonksiyonunun periyodu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2\pi/5
- B) \pi/5
- C) 4\pi/5
- D) 5\pi
Cevabı göster
Doğru cevap: B) \pi/5
Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu T = \pi / |m| formülüyle bulunur. Burada x'in katsayısı (m) 5 olduğu için periyot \pi/5'tir.
3. y = \cos(x) fonksiyonunun grafiği üzerinde aşağıdaki dönüşümlerden hangisi yapılırsa h(x) = \cos(x - \pi/2) + 1 grafiği elde edilir?
- A) \pi/2 birim sola, 1 birim aşağı
- B) \pi/2 birim sağa, 1 birim yukarı
- C) \pi/2 birim yukarı, 1 birim sağa
- D) \pi/2 birim sağa, 1 birim aşağı
Cevabı göster
Doğru cevap: B) \pi/2 birim sağa, 1 birim yukarı
Fonksiyonun içinde x yerine (x - r) yazılması, grafiği yatay eksende r kadar sağa öteler (burada \pi/2 birim sağa). Fonksiyonun tamamına s eklenmesi ise dikeyde s kadar yukarı öteler (burada 1 birim yukarı).
4. Aşağıdaki trigonometrik fonksiyonlardan hangisi gerçek sayılar kümesinde (tanımlı olduğu yerlerde) daima bir tek fonksiyondur?
- A) f(x) = \cos(x)
- B) f(x) = \sin(x) + 2
- C) f(x) = \tan(x)
- D) f(x) = |\sin(x)|
Cevabı göster
Doğru cevap: C) f(x) = \tan(x)
Tanjant fonksiyonu f(-x) = -f(x) özelliğini sağladığı için tek fonksiyondur. Kosinüs çift fonksiyondur. Sinüs tek fonksiyondur ancak 2 birim yukarı ötelendiğinde orijine göre simetrisi kaybolur ve teklik bozulur.
5. Bir limandaki deniz suyu yüksekliği, t saat cinsinden zamanı göstermek üzere f(t) = 3 \cos(\pi/4 \cdot t) + 15 metre fonksiyonu ile modelleniyor. t=0 anından itibaren su seviyesi ilk kez kaçıncı saatte en düşük seviyesine ulaşır?
- A) 2
- B) 4
- C) 6
- D) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 4
Deniz suyunun en düşük seviyede olması için kosinüs değerinin alabileceği en küçük değer olan -1'i alması gerekir. \cos(\pi/4 \cdot t) = -1 eşitliğinin sağlanması için içerideki açının \pi olması gerekir. \pi/4 \cdot t = \pi denkleminden t = 4 saat bulunur.