Online Kolej
Kayıt Ol

11. Sınıf Matematik · Ünite 1

Trigonometrik Fonksiyonların Anatomisi ve Dönüşümleri

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyot, genlik, teklik-çiftlik gibi temel özelliklerini keşfedecek ve dalga grafiklerinin dönüşümlerini inceleyeceğiz.

Kazanım MAT.11.1.1 · 40 dk okuma

Evrendeki pek çok olay kendini tekrar eden bir ritme sahiptir. Mevsimlerin döngüsü, kalbimizin atışı, müzikteki ses dalgaları veya denizin gelgitleri... İşte matematikte bu döngüsel hareketleri modellemek için trigonometrik fonksiyonları kullanırız. Bu derste, temel trigonometrik fonksiyonların anatomisini inceleyecek ve grafiklerinin matematiksel dokunuşlarla nasıl dönüştürüldüğünü keşfedeceğiz.

Temel Referans Fonksiyonlarımız: Sinüs ve Kosinüs

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının tanım kümesi tüm gerçek sayılardır. Görüntü kümeleri ise daima kapalı [-1, 1] aralığıdır. Ne yaparsanız yapın, standart bir sinüs veya kosinüs dalgasını bu sınırların dışına çıkaramazsınız!

f(x)=sin⁡xvef(x)=cos⁡xf(x) = \sin x \quad \text{ve} \quad f(x) = \cos x
  • Periyotları 2\pi'dir. Yani yatay eksende her 2\pi birimde bir aynı dalga desenini tekrarlarlar. Sürekli tekrar ettikleri için gerçek sayılar kümesinde 'bire bir' değildirler.
  • Teklik-Çiftlik: Sinüs orijine göre simetrik olan tek bir fonksiyondur, yani f(-x) = -f(x). Kosinüs ise y eksenine göre simetrik olan çift bir fonksiyondur, f(-x) = f(x).

Asi Kardeşler: Tanjant ve Kotanjant

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının karakteri biraz daha farklıdır. Görüntü kümeleri tüm gerçek sayılardır (yani eksi sonsuzdan artı sonsuza dikine uzanırlar). Ancak tanım kümelerinde paydanın sıfır olduğu asimptot noktaları dışlanmalıdır.

f(x)=tan⁡x=sin⁡xcos⁡xf(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
  • Periyotları \pi'dir. Yani her \pi birimde bir kendilerini tekrar ederler.
  • Her ikisi de tek fonksiyondur.

Grafik Dönüşümleri: Kontrol Sende!

Bir trigonometrik fonksiyonu cebirsel olarak aşağıdaki formda yazdığımızda, grafikteki dalgayı istediğimiz gibi büküp öteleyebiliriz:

g(x)=k⋅f(mx±r)±sg(x) = k \cdot f(mx \pm r) \pm s
  • k (Genlik Katsayısı): Dalgayı dikey olarak uzatır veya basıklaştırır. Örneğin 3sin(x) fonksiyonunun görüntü kümesi [-3, 3] olur.
  • m (Frekans Çarpanı): Dalganın periyodunu değiştirir. Yatay eksende daralma veya genişleme yaratır.
  • r (Faz Kayması): Dalgayı sağa veya sola doğru öteler.
  • s (Düşey Öteleme): Tüm dalgayı dikey eksende yukarı veya aşağı taşır.
touch_appEtkileşimli

Günlük Hayattan Modelleme Örneği

Diyelim ki bir yay ucundaki ağırlığın yüksekliğini modelliyorsunuz. Ağırlığı denge noktasından 5 cm yukarı çektiniz ve bıraktınız. Ağırlığın yüksekliği bir kosinüs dalgası çizecektir. Eğer hareketin tam bir döngüsü (periyot) 2 saniye sürüyorsa, ağırlığın konum fonksiyonu y(t) = 5cos(\pi t) olur!

auto_awesome

Trigonometrik Fonksiyonların Anatomisi ve Dönüşümleri: Alıştırma Soruları

  1. Soru 1

    1. f(x) = -4 \sin(2x + 1) + 3 fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  2. Soru 2

    2. g(x) = \tan(5x - \pi/4) fonksiyonunun periyodu aşağıdakilerden hangisidir?

  3. Soru 3

    3. y = \cos(x) fonksiyonunun grafiği üzerinde aşağıdaki dönüşümlerden hangisi yapılırsa h(x) = \cos(x - \pi/2) + 1 grafiği elde edilir?

  4. Soru 4

    4. Aşağıdaki trigonometrik fonksiyonlardan hangisi gerçek sayılar kümesinde (tanımlı olduğu yerlerde) daima bir tek fonksiyondur?

  5. Soru 5

    5. Bir limandaki deniz suyu yüksekliği, t saat cinsinden zamanı göstermek üzere f(t) = 3 \cos(\pi/4 \cdot t) + 15 metre fonksiyonu ile modelleniyor. t=0 anından itibaren su seviyesi ilk kez kaçıncı saatte en düşük seviyesine ulaşır?

1 soru daha seni bekliyor

Ücretsiz kaydol; Trigonometrik Fonksiyonların Anatomisi ve Dönüşümleri testini puanlı çöz, XP kazan ve takıldığın yeri yapay zeka öğretmenine sor.

Ücretsiz Kaydol