12. Sınıf Matematik · Ünite 3
Çemberde Açıların Gizemi: Dijital Keşifler
Çemberde merkez, çevre, teğet-kiriş, iç ve dış açıların özelliklerini dijital araçlarla keşfederek aralarındaki geometrik ilişkileri genelliyoruz.
Kazanım MAT.12.3.2 · 40 dk okuma
Merhaba sevgili 12. sınıf öğrencileri! Geometri, sadece ezberlenecek formüller yığını değil, keşfedilmeyi bekleyen kusursuz bir düzendir. Bugün çemberde açıları inceleyeceğiz. Ancak bu kez kuralları hazır olarak vermek yerine, birer matematikçi gibi dijital araçlar üzerinden varsayımlarda bulunarak kendi genellemelerimizi oluşturacağız.
Merkez Açı ve Çevre Açı İlişkisi
Çemberin merkezinde oluşan açıya 'merkez açı', çember yayı üzerinde oluşan açıya ise 'çevre açı' diyoruz. Merkez açı, doğrudan gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Peki çevre açı ile gördüğü yay arasında nasıl bir ilişki vardır? Aşağıdaki etkileşimli alanda çevre açının köşesini çember üzerinde hareket ettirdiğinizde neler olduğunu gözlemleyin.
Çevre açının köşesini (C noktasını) çember üzerinde nereye taşırsanız taşıyın, gördüğü yay (A-B yayı) değişmediği sürece açının ölçüsü sabit kalır ve her zaman merkez açının tam yarısıdır. Genellememiz şudur: Aynı yayı gören merkez açının ölçüsü, çevre açının ölçüsünün iki katıdır.
Teğet-Kiriş, İç ve Dış Açılar
Çemberle tek bir noktada temas eden doğruya teğet, çemberin içindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına ise kiriş denir. Bir teğet ile bir kirişin oluşturduğu açı da tıpkı çevre açı gibi gördüğü yayın yarısına eşittir. Çemberin içinde iki kirişin kesişmesiyle oluşan 'iç açı', gördüğü yayların toplamının yarısıdır. 'Dış açı' ise çemberin dışında kesişen iki kesenin gördüğü yayların farkının yarısına eşittir.
Kirişler Dörtgeni
Köşelerinin dördü de aynı çember üzerinde bulunan dörtgenlere kirişler dörtgeni denir. Çevre açı kurallarını kullanarak bu özel dörtgen için muazzam bir sonuca ulaşabiliriz.
Görseldeki kirişler dörtgeninde A ve C açıları karşılıklıdır. A açısı B-C-D yayını, C açısı ise D-A-B yayını görür. İkisinin gördüğü yayların toplamı tüm çemberdir (360 derece). Çevre açı kuralı gereği, bu açıların toplamı 360'ın yarısı olmalıdır. Yani genellememiz şudur: Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların ölçüleri toplamı daima 180 derecedir.
Günlük Hayattan Bir Uygulama
Bir tiyatro salonu veya stadyum tasarladığınızı düşünün. Sahneyi aynı izleme açısıyla görebilen koltukların yerleşimi tam olarak bir çember yayı üzerindedir. Çevre açı teoremi sayesinde, bu yay üzerindeki hangi koltuğa oturursanız oturun sahneyi aynı genişlikte görebileceğinizi matematiksel olarak garantilemiş olursunuz.
Çemberde Açıların Gizemi: Dijital Keşifler: Alıştırma Soruları
1. Bir çemberde bir merkez açının ölçüsü 110 derecedir. Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü kaç derecedir?
- A) 55
- B) 70
- C) 110
- D) 220
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 55
Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü, merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir. 110 / 2 = 55 derece.
2. Bir kirişler dörtgeninde karşılıklı iki açıdan birinin ölçüsü 85 derecedir. Buna göre diğer açının ölçüsü kaç derecedir?
- A) 75
- B) 85
- C) 95
- D) 105
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 95
Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı her zaman 180 derecedir. 180 - 85 = 95 derece bulunur.
3. Çember üzerinde bir A noktası teğet değme noktasıdır. Bu noktadan geçen bir kiriş ile teğet arasındaki açı 42 derecedir. Bu teğet-kiriş açının gördüğü yayı gören merkez açının ölçüsü kaç derecedir?
- A) 21
- B) 42
- C) 84
- D) 168
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 84
Teğet-kiriş açının ölçüsü 42 derece ise gördüğü yay bunun iki katı olan 84 derecedir. Merkez açı doğrudan gördüğü yaya eşit olduğundan cevap 84 derecedir.
4. Bir çemberin içinde kesişen iki kirişin oluşturduğu iç açılardan biri, ölçüleri 70 derece ve 110 derece olan iki farklı yayı görmektedir. Buna göre bu iç açının ölçüsü kaç derecedir?
- A) 20
- B) 40
- C) 90
- D) 180
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 90
Çemberde iç açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısına eşittir. (70 + 110) / 2 = 180 / 2 = 90 derece.
5. Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen iki kesenin oluşturduğu dış açının ölçüsü 25 derecedir. Bu kesenlerin çemberden ayırdığı büyük yayın ölçüsü 90 derece olduğuna göre, küçük yayın ölçüsü kaç derecedir?
- A) 40
- B) 45
- C) 50
- D) 65
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 40
Dış açının ölçüsü, gördüğü yayların farkının yarısına eşittir. (90 - x) / 2 = 25 denklemini çözersek, 90 - x = 50 ve buradan x = 40 derece bulunur.