12. Sınıf Matematik · Ünite 3
Çemberin Dünyasına Dönüş: Yaşamdan Doğruya
Çemberin temel elemanlarını, günlük yaşamdaki uygulama alanlarını ve bir doğru ile çemberin düzlemdeki birbirine göre durumlarını keşfedeceğiz.
Kazanım MAT.12.3.1 · 40 dk okuma
Çember ve Daireyi Yeniden Keşfediyoruz
Merhaba sevgili gençler! 12. sınıfa geldik ve matematiğin en kusursuz şekillerinden biri olan çember ile yeniden buluşuyoruz. Çember sadece kâğıt üzerinde çizdiğimiz yuvarlak bir şekil değildir; hastalıkların yayılmasını önlemekten, sürdürülebilir tarıma kadar hayatın tam merkezindedir. Öncelikle temel kavramlarımızı bir hatırlayalım. Merkezi O, yarıçapı r olan bir çemberin çevre uzunluğunu ve dairenin alanını nasıl hesaplıyorduk?
Eğer tüm çemberi değil de sadece belli bir merkez açıya (alfa) sahip bir çember yayının uzunluğunu bulmak istersek şu formülü kullanırız:
Günlük Hayatta Çemberin İzleri
Matematiğin sadece formüllerden ibaret olmadığını gerçek yaşam örnekleriyle daha iyi anlayabiliriz. Örneğin, pandemilerde sıkça duyduğumuz '1,5 metre sosyal mesafe' kuralı aslında her insanın etrafında yarıçapı 1,5 metre olan görünmez bir çember oluşturur. Sağlıklı kalmak için iki insanın bu çemberlerinin kesişmemesi gerekir.
Bir başka örnek ise ulaşımda sürdürülebilirlik. Karbon ayak izimizi azaltmak için bisiklet kullandığımızda, bisikletin aldığı yol tekerleğin çevre uzunluğu ile doğrudan ilişkilidir. Tekerlek her tam tur döndüğünde, kendi çevresi kadar yol alır. Benzer şekilde, tarımda su tasarrufu sağlamak için kullanılan dairesel (merkezden döner) sulama sistemleri, tam bir daire veya daire dilimi şeklinde alanları sulayarak suyun en verimli şekilde toprağa ulaşmasını sağlar.
Düzlemde Çember ve Doğrunun Birbirine Göre Durumları
Şimdi bir kâğıt ve cetvel aldığınızı, bir çemberin yanına rastgele bir doğru çizdiğinizi hayal edin. Sınıf arkadaşlarınızla dinamik geometri yazılımları (örneğin GeoGebra) kullanarak da bu durumu test edebilirsiniz. Bir doğru ile bir çemberin düzlemde üç farklı durumu olabilir. Bu durumları belirleyen temel unsur, çemberin merkezinin doğruya olan uzaklığıdır (d).
Görselden de anladığımız üzere; merkez ile doğru arasındaki mesafe (d) yarıçaptan (r) küçükse doğru çemberi iki noktada keser (Kesen). Eğer mesafe yarıçapa eşitse doğru çembere tek bir noktada dokunur (Teğet). Eğer mesafe yarıçaptan büyükse doğru çemberin tamamen dışından geçer ve hiçbir ortak noktaları yoktur.
Çemberin Dünyasına Dönüş: Yaşamdan Doğruya: Alıştırma Soruları
1. Sürdürülebilir bir ulaşım aracı olan bisikletle okula giden Ayşe'nin bisikletinin tekerlek yarıçapı 40 cm'dir. Ev ile okul arası doğrusal ve düz bir yol olup tekerlek 500 tam tur attığında okula ulaşmaktadır. Buna göre Ayşe'nin evi ile okulu arası kaç metredir? (pi değerini 3 alınız)
- A) 800
- B) 1200
- C) 2400
- D) 4800
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 1200
Bir tam turda tekerlek çevresi kadar yol alır. Çevre = 2 * pi * r = 2 * 3 * 40 = 240 cm. 500 turda alınan yol: 500 * 240 = 120.000 cm. Metreye çevirmek için 100'e böleriz, sonuç 1200 metre olur.
2. Merkezi M olan ve yarıçapı 12 cm olan bir çembere, merkezden 15 cm uzaklıktaki bir d doğrusu çiziliyor. Bu doğru ile çemberin düzlemdeki birbirine göre durumu hakkında ne söylenebilir?
- A) Doğru, çemberi iki noktada keser.
- B) Doğru, çemberin merkezinden geçer.
- C) Doğru, çembere bir noktada teğettir.
- D) Doğru ile çember kesişmez, ortak noktaları yoktur.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Doğru ile çember kesişmez, ortak noktaları yoktur.
Çemberin yarıçapı (r = 12 cm), doğrunun merkeze olan uzaklığından (d = 15 cm) daha küçüktür. d > r olduğundan doğru çemberin tamamen dışındadır ve ortak noktaları yoktur.
3. Enfeksiyon hastalıklarının yayılmasını önlemek için uzmanlar, her bireyin etrafında 1,5 metre yarıçaplı dairesel bir kişisel alan (sosyal mesafe) korunmasını tavsiye etmektedir. İki kişinin bu dairesel alanlarının sadece bir noktada birbirine dokunduğu (teğet olduğu) durumda, bu iki kişinin durdukları noktalar arasındaki mesafe tam olarak kaç metre olmalıdır?
- A) 1.5
- B) 2
- C) 3
- D) 4.5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 3
Her iki kişinin oluşturduğu çemberin yarıçapı r = 1,5 metredir. Çemberlerin dıştan teğet olması için, iki çemberin merkezleri arasındaki mesafe yarıçapların toplamına eşit olmalıdır. d = r1 + r2 = 1,5 + 1,5 = 3 metre.
4. Merkezi (0, 0) başlangıç noktasında olan bir çember ile 3x + 4y - 25 = 0 doğrusu düzlemde yalnızca bir noktada kesişmektedir (birbirine teğettir). Bu çemberin çevre uzunluğu kaç birimdir? (pi sayısını pi olarak bırakınız)
- A) 5\pi
- B) 10\pi
- C) 15\pi
- D) 25\pi
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 10\pi
Çember doğruya teğet olduğuna göre, merkez noktasının doğruya olan dik uzaklığı yarıçapa (r) eşittir. Noktanın doğruya uzaklık formülü ile: r = |3(0) + 4(0) - 25| / kök(3^2 + 4^2) = |-25| / 5 = 5 birimdir. Çevre = 2 * pi * r = 2 * pi * 5 = 10\pi olur.
5. Su tasarrufu sağlamak için tasarlanmış dairesel dönen bir tarımsal sulama sistemi, 150 metre uzunluğundaki bir borunun merkez etrafında dönmesiyle çalışmaktadır. Sistem, gün boyunca 120 derecelik bir dönüş yaparak sulama yapmıştır. Sulanan tarlanın alanı kaç metrekaredir? (pi değerini 3 alınız)
- A) 11250
- B) 22500
- C) 33750
- D) 45000
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 22500
Sulanan alan bir daire dilimidir. Yarıçap r = 150 m ve merkez açı alfa = 120 derecedir. Alan = pi * r^2 * (alfa/360) = 3 * (150)^2 * (120/360) = 3 * 22500 * (1/3) = 22500 metrekare.