Online Kolej
Kayıt Ol

12. Sınıf Matematik · Ünite 2

Maksimum ve Minimum Problemleri: Türevle Gerçek Hayatı Optimize Etmek

Türevin gücünü kullanarak günlük hayatta karşılaştığımız en yüksek kâr, en düşük maliyet veya en büyük hacim gibi optimizasyon problemlerini nasıl matematiksel olarak çözeceğimizi öğreneceğiz.

Kazanım MAT.12.2.9 · 40 dk okuma

Giriş: Hayatı Optimize Etmek

Günlük yaşantımızda farkında olmadan hep en iyiyi ararız. Bir şirket en az maliyetle en yüksek kârı elde etmeye çalışır; bir mimar elindeki malzemeyle en dayanıklı ve en geniş hacimli yapıyı inşa etmek ister. İstenen bir değerin 'en büyük' (maksimum) veya 'en küçük' (minimum) olmasını sağlama sürecine optimizasyon diyoruz.

Problem Çözme Stratejisi

Gerçek yaşam problemlerini türevle çözerken şu adımları izleriz:

  • 1Problemi Anlama: Neyi maksimize (en büyük) veya minimize (en küçük) edeceğimizi belirleyin.
  • 2Değişkenleri Tanımlama: Verilenleri ve istenenleri matematiksel değişkenler (x, y vb.) olarak ifade edin.
  • 3Fonksiyon Oluşturma: Maksimum veya minimum olması istenen ifadeyi tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon (örneğin f(x)) olarak yazın. Eğer iki değişken varsa, problemdeki kısıtlamaları kullanarak değişken sayısını bire düşürün.
  • 4Türev Alma ve Kök Bulma: f'(x) türevini hesaplayın ve sıfıra eşitleyin.
  • 5Sonucu Yorumlama: Bulduğunuz kökün bağlama uygun olup olmadığını ve gerçekten bir maksimum/minimum değeri verip vermediğini kontrol edin.

Örnek 1: Çiftçinin Tarlası

Bir çiftçinin elinde 120 metre uzunluğunda tel vardır. Dikdörtgen şeklindeki tarlasının üç kenarını bu telle çevirecektir; çünkü dördüncü kenarda nehir olduğu için oraya tel çekilmesine gerek yoktur. Çiftçi tarlasının alanının en büyük olmasını istiyor. Boyutlar ne olmalıdır?

Tarlanın nehre dik olan kenarlarına x, nehre paralel olan kenarına y diyelim. Kullanılan telin uzunluğu:

2x+y=120  ⟹  y=120−2x2x + y = 120 \implies y = 120 - 2x

Maksimize etmek istediğimiz şey Alan (A). Alanı x cinsinden yazalım:

A(x)=x⋅y=x⋅(120−2x)=120x−2x2A(x) = x \cdot y = x \cdot (120 - 2x) = 120x - 2x^2

Şimdi bu fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyelim:

A′(x)=120−4x=0  ⟹  4x=120  ⟹  x=30A'(x) = 120 - 4x = 0 \implies 4x = 120 \implies x = 30

x = 30 metre ise, y = 120 - 2(30) = 60 metre olur. Yani alanın en büyük olması için boyutlar 30'a 60 metre olmalıdır. Maksimum alan ise 1800 metrekaredir.

Örnek 2: Kâr Maksimizasyonu

Bir işletmenin x adet ürün ürettiğinde elde ettiği kâr K(x) fonksiyonu ile modellenmiştir:

K(x)=−x2+100x−400K(x) = -x^2 + 100x - 400

İşletmenin kârını en üst düzeye çıkarması için kaç ürün üretmesi gerektiğini bulalım:

K′(x)=−2x+100=0  ⟹  2x=100  ⟹  x=50K'(x) = -2x + 100 = 0 \implies 2x = 100 \implies x = 50

50 ürün üretildiğinde kâr maksimum olmaktadır. Aşağıdaki grafikte, bir parabol olan bu kâr fonksiyonunun tepe noktasında, yani türevin sıfır olduğu yerde nasıl maksimuma ulaştığını görebilirsiniz.

50 Max x

Özet

Problemdeki ilişkileri tek değişkenli bir fonksiyon haline getirmek işin asıl zor kısmıdır. Matematiksel modele ulaştıktan sonra, türevi almak ve sıfıra eşitlemek bizi doğrudan en iyi çözüme (maksimum ya da minimuma) götürür.

auto_awesome

Maksimum ve Minimum Problemleri: Türevle Gerçek Hayatı Optimize Etmek: Alıştırma Soruları

  1. 1. Bir problem durumunu tek değişkene bağlı f(x) fonksiyonu ile modellediğimizde, bu problemin maksimum veya minimum (ekstremum) çözümünü araştırmak için fonksiyonun hangi özelliğinden yararlanırız?

    • A) Birinci türevinin köklerinden
    • B) İkinci türevinin pozitif olduğu aralıklardan
    • C) Fonksiyonun y eksenini kestiği noktadan
    • D) Fonksiyonun tanımsız olduğu yerlerden
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) Birinci türevinin köklerinden

    Optimizasyon problemlerinde fonksiyonun alabileceği en büyük veya en küçük değeri bulmak için birinci türevinin köklerine (ekstremum noktalarına) bakılır.

  2. 2. Çevresi 40 cm olan bir dikdörtgenin alanının en büyük olmasını istiyoruz. Bu durumda dikdörtgenin alanı en fazla kaç santimetrekare olur?

    • A) 80
    • B) 100
    • C) 120
    • D) 400
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 100

    Çevre = 2x + 2y = 40 ise x + y = 20'dir. Alan A(x) = x(20 - x) = 20x - x^2 olur. Türevi: A'(x) = 20 - 2x = 0 ise x = 10. Bu durumda şekil karedir ve alanı 10 * 10 = 100 cm² olur.

  3. 3. Bir fabrikanın günlük maliyet fonksiyonu x üretilen ürün miktarını göstermek üzere C(x) = 2x² - 120x + 2500 TL olarak modellenmiştir. Maliyetin minimum olması için günlük kaç adet ürün üretilmelidir?

    • A) 20
    • B) 30
    • C) 40
    • D) 60
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 30

    Maliyeti minimize etmek için C(x)'in birinci türevini sıfıra eşitlemeliyiz. C'(x) = 4x - 120 = 0 işlemi sonucunda 4x = 120 ve x = 30 elde edilir.

  4. 4. Bir ürünün satışından elde edilen kâr P(x) = -2x² + 160x - 100 fonksiyonu ile ifade edilmektedir. Buna göre bu ürünün satışından elde edilebilecek maksimum kâr kaç TL'dir?

    • A) 2800
    • B) 3000
    • C) 3100
    • D) 3200
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 3100

    Kârın maksimum olması için P'(x) = -4x + 160 = 0 olmalıdır. Buradan x = 40 bulunur. Fonksiyonda yerine yazarsak: P(40) = -2(1600) + 160(40) - 100 = -3200 + 6400 - 100 = 3100 TL bulunur.

  5. 5. Kenar uzunluğu 12 cm olan kare şeklinde bir kartonun köşelerinden bir kenarı x cm olan özdeş dört kare kesilip çıkarılıyor. Kalan kısım katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Kutunun hacminin en büyük olması için kesilen karelerin bir kenar uzunluğu (x) kaç cm olmalıdır?

    • A) 2
    • B) 3
    • C) 4
    • D) 6
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) 2

    Kutunun taban kenarı (12 - 2x), yüksekliği ise x olur. Hacim V(x) = x(12 - 2x)². Çarpım türevi (ya da ifadeyi açarak) alırsak: V'(x) = (12 - 2x)² + x * 2(12 - 2x)(-2). İfadeyi (12 - 2x) parantezine alırsak (12 - 2x)(12 - 6x) = 0. Kökler x = 6 (minimum, hacim 0) ve x = 2 (maksimum) çıkar.

1 soru daha seni bekliyor

Ücretsiz kaydol; Maksimum ve Minimum Problemleri: Türevle Gerçek Hayatı Optimize Etmek testini puanlı çöz, XP kazan ve takıldığın yeri yapay zeka öğretmenine sor.

Ücretsiz Kaydol