Online Kolej
Kayıt Ol

12. Sınıf Matematik · Ünite 1

Polinom ve Rasyonel Denklemlerle Gerçek Yaşam Problemleri

Polinom ve rasyonel fonksiyonları kullanarak günlük hayatta karşılaştığımız karmaşık problemleri modellemeyi, çözüm stratejileri oluşturmayı ve sonuçları yorumlamayı öğreniyoruz.

Kazanım MAT.12.1.5 · 40 dk okuma

Matematik ve Gerçek Hayatın Kesişimi

Çevremizdeki pek çok olay; üretim maliyetleri, bir ilacın kandaki yoğunluğu veya havaya atılan bir cismin yörüngesi gibi durumlar, polinom ve rasyonel fonksiyonlarla ifade edilebilir. Bu dersimizde, bir problemi çözerken sadece işlem yapmayı değil; doğru stratejiyi kurmayı, alternatif yolları değerlendirmeyi ve bulduğumuz sonucun gerçek hayatta mantıklı olup olmadığını kontrol etmeyi (örneğin zamanın veya uzunluğun negatif olamayacağı gerçeğini) öğreneceğiz.

1. Strateji Oluşturma ve Problem Çözümü: Rasyonel Eşitsizlikler

Bir fabrikanın ürettiği bir teknolojik alet için sabit başlangıç maliyeti 10.000 TL, her bir ürünün üretim maliyeti ise 50 TL'dir. Şirket, 'ortalama maliyetin' 70 TL'nin altına düşmesi için en az kaç adet ürün üretmesi gerektiğini bulmak istiyor. Bu problemi çözmek için öncelikle maliyet fonksiyonunu modelleyerek stratejimizi kuralım.

M(x)=10000+50xxM(x) = \frac{10000 + 50x}{x}

Ortalama maliyetin 70 TL'den küçük olması isteniyor. O halde eşitsizliğimiz:

10000+50xx<70\frac{10000 + 50x}{x} < 70

Bu problemde x (ürün sayısı) kesinlikle pozitiftir. Ancak genel bir strateji kazanmak adına terimleri bir tarafa toplayalım: (10000 + 50x)/x - 70 < 0. Payda eşitlersek (10000 - 20x)/x < 0 elde ederiz. Köklerimiz x = 500 ve x = 0 (paydayı sıfır yapan değer). x pozitif olmak zorunda olduğundan, eşitsizliğin sağlanması için x > 500 olmalıdır. Çözümümüzü kontrol ettiğimizde (örneğin x=1000 için), ortalama maliyetin 60 TL olduğunu ve şartın sağlandığını görürüz.

2. Grafiksel ve Cebirsel Argümanlar: Polinom Eşitsizlikleri

Bir drone kargo şirketinin test uçuşunda, drone'un yüksekliği zamana (saniye) bağlı olarak aşağıdaki 2. dereceden polinom fonksiyonu ile modellenmiştir:

h(t)=−5t2+20t+25h(t) = -5t^2 + 20t + 25

Drone'un 40 metre yüksekliğin üzerinde kaldığı zaman aralığını bulmak istiyoruz. Stratejimiz: h(t) > 40 eşitsizliğini çözmek. -5t^2 + 20t + 25 > 40 ifadesini düzenlersek: -5t^2 + 20t - 15 > 0. Tüm terimleri -5'e böldüğümüzde (eşitsizliğin yön değiştireceğine dikkat ediniz):

t2−4t+3<0t^2 - 4t + 3 < 0

Çarpanlarına ayırırsak (t-1)(t-3) < 0 elde ederiz. Kökler t = 1 ve t = 3'tür. Şimdi bu kökleri bir sayı doğrusuna (işaret tablosuna) yerleştirerek t'nin hangi aralıkta çözüm olduğunu görselleştirelim:

1 3 + - +

Tablodan gördüğümüz gibi eşitsizlik (t-1)(t-3) < 0 olduğundan aradığımız negatif bölge, yani 1 ile 3 saniye aralığıdır. Çözüm stratejimizin alternatif bir yolu da bu parabolün grafiğini çizerek tepe noktasını ve kolların aşağı doğru olduğunu yorumlamaktır. Bulduğumuz [1, 3] aralığını orijinal fonksiyonda t=2 yazarak kontrol edelim: -5(4) + 20(2) + 25 = 45. 45 > 40 olduğundan çözümümüz geçerlidir!

auto_awesome

Polinom ve Rasyonel Denklemlerle Gerçek Yaşam Problemleri: Alıştırma Soruları

  1. Soru 1

    1. Bir otobüs firmasının bir seferdeki maliyet fonksiyonu yolcu sayısına (x) bağlı olarak C(x) = (1200 / x) + 30 olarak modellenmiştir. Maliyetin yolcu başına 50 TL'ye eşit olması hedeflenmektedir. Bu stratejiye göre otobüste kaç yolcu olmalıdır?

  2. Soru 2

    2. Bir havuzun temizlenme hızı h(x) = x^2 - 16 polinomu ile ilişkilendirilmiştir. Bu değerin negatif olması havuzun kirlenmeye başladığını göstermektedir. x'in sadece pozitif (x > 0) zaman dilimini ifade ettiği bilindiğine göre, havuz hangi zaman aralığında kirlenmeye başlar?

  3. Soru 3

    3. Yukarı doğru fırlatılan bir cismin yüksekliği h(t) = -t^2 + 10t metre olarak modellenmiştir. Bu cismin yüksekliğinin en az 16 metre olduğu zaman aralığı (saniye cinsinden) aşağıdakilerden hangisidir?

  4. Soru 4

    4. Bir şirketin kâr fonksiyonu rasyonel bir modelle K(x) = (x - 6) / (x - 3) olarak ifade ediliyor. Kârın 0'dan küçük veya 0'a eşit (K(x) <= 0) olması durumu şirketin 'riskli bölgede' olduğunu gösteriyor. Şirketin riskli bölgede olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

  5. Soru 5

    5. İki makineden A makinesi bir işi x saatte, B makinesi ise x+4 saatte bitirebilmektedir. İkisi birlikte aynı işi 1.5 (yani 3/2) saatten daha kısa sürede bitirebildiklerine göre ve zamanın pozitif olması koşuluyla x için en uygun çözüm stratejisinin sonucu nedir?

1 soru daha seni bekliyor

Ücretsiz kaydol; Polinom ve Rasyonel Denklemlerle Gerçek Yaşam Problemleri testini puanlı çöz, XP kazan ve takıldığın yeri yapay zeka öğretmenine sor.

Ücretsiz Kaydol