Online Kolej
Kayıt Ol

12. Sınıf Matematik · Ünite 1

Polinom Fonksiyonların Grafikleri ve Nitel Özellikleri

Polinomların dereceleri, sıfırları ve çarpanlara ayrılmış formları ile grafiklerinin davranışları arasındaki ilişkiyi inceliyoruz.

Kazanım MAT.12.1.4 · 40 dk okuma

Polinomların Eğlenceli Yolculuğu: Eğrilerin Dilini Anlamak

Merhaba gençler! Bugüne kadar doğrusal fonksiyonları (1. dereceden) ve parabolleri (2. dereceden) detaylıca incelediniz. Doğruların düz bir çizgi, parabollerin ise U şeklinde bir eğri olduğunu biliyorsunuz. Şimdi vizyonumuzu biraz daha genişletme zamanı. Bir polinomun derecesi 3'e veya 4'e çıktığında grafiği bir lunapark trenine (rollercoaster) benzemeye başlar. Peki, bu trenin ne zaman yukarı çıkacağını, x eksenine ne zaman çarpacağını veya onu kaç kez delip geçeceğini denkleme bakarak nasıl anlarız?

Derece ve Kök (Sıfır) Sayısı İlişkisi

Bir polinom fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği veya teğet geçtiği noktalara o fonksiyonun 'sıfırları' veya 'kökleri' diyoruz. Altın kuralımız şudur: Bir polinomun derecesi, o polinomun en fazla kaç tane gerçek sıfırı (yani x eksenini kesme veya dokunma noktası) olabileceğini söyler. Örneğin 3. dereceden bir polinom x eksenini en fazla 3 noktada, 4. dereceden bir polinom ise en fazla 4 noktada kesebilir.

P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x) = a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0

Aşağıdaki etkileşimli tahtada 3. dereceden bir polinomun köklerini (mavi noktaları) sağa sola sürükleyerek grafiğin x eksenini nasıl kestiğini gözlemleyin.

touch_appEtkileşimli

Çarpanlara Ayrılmış Form Bize Ne Söyler?

Polinomları uzun, standart bir denklem yerine çarpanlarına ayrılmış şekilde görmek, grafiğin röntgenini çekmek gibidir. Çarpanlar sayesinde köklerin tam yerini ve grafiğin o kökte nasıl davrandığını anında görebiliriz. Gelin, şu fonksiyon üzerinde düşünelim:

f(x)=(x−2)(x+1)2f(x) = (x - 2)(x + 1)^2

Uç Değer Davranışları (Grafiğin Kolları Nereye Gidiyor?)

Polinomun derecesi (tek mi çift mi?) ve en büyük dereceli terimin başkatsayısı (pozitif mi negatif mi?), x değerleri sonsuza giderken grafiğin uçlarının nereye gideceğini belirler. 3. derece gibi tek dereceli polinomların uçları zıt yönlere gider (biri yukarı, biri aşağı). 4. derece gibi çift dereceli polinomların uçları ise aynı yöne gider (ikisi de yukarı veya ikisi de aşağı, tıpkı paraboldeki gibi).

Sınıf İçi Tartışma Molası

Sınıf arkadaşlarınızla tartışın: 'P(x) = - (x - 1)^2 * (x + 3)^2' fonksiyonunun grafiği sizce x eksenini keser mi, yoksa teğet mi geçer? Kollar hangi yöne doğru uzanır? Lütfen fikirlerinizi nedenleriyle açıklayın ve farklı düşünen arkadaşlarınızı saygıyla dinleyin.

auto_awesome

Polinom Fonksiyonların Grafikleri ve Nitel Özellikleri: Alıştırma Soruları

  1. Soru 1

    1. 3. dereceden bir P(x) polinom fonksiyonunun grafiği, koordinat sisteminde x eksenini en fazla kaç farklı noktada kesebilir?

  2. Soru 2

    2. f(x) = (x - 4)^2 * (x + 2) fonksiyonunun grafiği için aşağıda verilen yorumlardan hangisi doğrudur?

  3. Soru 3

    3. Bir polinom grafiğinin her iki ucu da y ekseninin negatif tarafına (aşağıya) doğru gitmektedir ve x eksenini tam 4 farklı noktada kesmektedir. Bu polinomun derecesi ve başkatsayısı hakkında hangisi söylenebilir?

  4. Soru 4

    4. P(x) = a * (x - 1)^3 * (x + 5) polinomu veriliyor. 'a' değerinin pozitif bir reel sayı olduğu biliniyor. X değerleri eksi sonsuza (çok küçük değerlere) doğru giderken fonksiyon grafiğinin hareketi hakkında ne söylenebilir?

  5. Soru 5

    5. Bir P(x) polinom fonksiyonunun grafiği x eksenini yalnızca x = -1 ve x = 3 noktalarında kesmektedir (ortak kökü yoktur). Grafiğin x = 3 noktasında eksene teğet olduğu ve P(0) < 0 olduğu biliniyor. Bu polinomun derecesi en az 3 ise, başkatsayısı hakkında ne söylenebilir?

1 soru daha seni bekliyor

Ücretsiz kaydol; Polinom Fonksiyonların Grafikleri ve Nitel Özellikleri testini puanlı çöz, XP kazan ve takıldığın yeri yapay zeka öğretmenine sor.

Ücretsiz Kaydol