12. Sınıf Matematik · Ünite 1
Polinom Fonksiyonların Grafikleri ve Nitel Özellikleri
Polinomların dereceleri, sıfırları ve çarpanlara ayrılmış formları ile grafiklerinin davranışları arasındaki ilişkiyi inceliyoruz.
Kazanım MAT.12.1.4 · 40 dk okuma
Polinomların Eğlenceli Yolculuğu: Eğrilerin Dilini Anlamak
Merhaba gençler! Bugüne kadar doğrusal fonksiyonları (1. dereceden) ve parabolleri (2. dereceden) detaylıca incelediniz. Doğruların düz bir çizgi, parabollerin ise U şeklinde bir eğri olduğunu biliyorsunuz. Şimdi vizyonumuzu biraz daha genişletme zamanı. Bir polinomun derecesi 3'e veya 4'e çıktığında grafiği bir lunapark trenine (rollercoaster) benzemeye başlar. Peki, bu trenin ne zaman yukarı çıkacağını, x eksenine ne zaman çarpacağını veya onu kaç kez delip geçeceğini denkleme bakarak nasıl anlarız?
Derece ve Kök (Sıfır) Sayısı İlişkisi
Bir polinom fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği veya teğet geçtiği noktalara o fonksiyonun 'sıfırları' veya 'kökleri' diyoruz. Altın kuralımız şudur: Bir polinomun derecesi, o polinomun en fazla kaç tane gerçek sıfırı (yani x eksenini kesme veya dokunma noktası) olabileceğini söyler. Örneğin 3. dereceden bir polinom x eksenini en fazla 3 noktada, 4. dereceden bir polinom ise en fazla 4 noktada kesebilir.
Aşağıdaki etkileşimli tahtada 3. dereceden bir polinomun köklerini (mavi noktaları) sağa sola sürükleyerek grafiğin x eksenini nasıl kestiğini gözlemleyin.
Çarpanlara Ayrılmış Form Bize Ne Söyler?
Polinomları uzun, standart bir denklem yerine çarpanlarına ayrılmış şekilde görmek, grafiğin röntgenini çekmek gibidir. Çarpanlar sayesinde köklerin tam yerini ve grafiğin o kökte nasıl davrandığını anında görebiliriz. Gelin, şu fonksiyon üzerinde düşünelim:
Uç Değer Davranışları (Grafiğin Kolları Nereye Gidiyor?)
Polinomun derecesi (tek mi çift mi?) ve en büyük dereceli terimin başkatsayısı (pozitif mi negatif mi?), x değerleri sonsuza giderken grafiğin uçlarının nereye gideceğini belirler. 3. derece gibi tek dereceli polinomların uçları zıt yönlere gider (biri yukarı, biri aşağı). 4. derece gibi çift dereceli polinomların uçları ise aynı yöne gider (ikisi de yukarı veya ikisi de aşağı, tıpkı paraboldeki gibi).
Sınıf İçi Tartışma Molası
Sınıf arkadaşlarınızla tartışın: 'P(x) = - (x - 1)^2 * (x + 3)^2' fonksiyonunun grafiği sizce x eksenini keser mi, yoksa teğet mi geçer? Kollar hangi yöne doğru uzanır? Lütfen fikirlerinizi nedenleriyle açıklayın ve farklı düşünen arkadaşlarınızı saygıyla dinleyin.
Polinom Fonksiyonların Grafikleri ve Nitel Özellikleri: Alıştırma Soruları
1. 3. dereceden bir P(x) polinom fonksiyonunun grafiği, koordinat sisteminde x eksenini en fazla kaç farklı noktada kesebilir?
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 3
n. dereceden bir polinom fonksiyonun x eksenini kesebileceği maksimum nokta sayısı derecesi kadardır. Bu nedenle 3. dereceden bir polinom en fazla 3 noktada x eksenini kesebilir.
2. f(x) = (x - 4)^2 * (x + 2) fonksiyonunun grafiği için aşağıda verilen yorumlardan hangisi doğrudur?
- A) x = 4 noktasında x eksenini kesip geçer.
- B) x = -2 noktasında x eksenine teğettir.
- C) x = 4 noktasında x eksenine teğettir.
- D) x eksenini hiçbir noktada kesmez.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) x = 4 noktasında x eksenine teğettir.
(x-4) çarpanının kuvveti çift (2) olduğu için grafik x=4 noktasında x eksenine teğettir. (x+2) çarpanının kuvveti tek (1) olduğu için x=-2 noktasında ekseni kesip geçer.
3. Bir polinom grafiğinin her iki ucu da y ekseninin negatif tarafına (aşağıya) doğru gitmektedir ve x eksenini tam 4 farklı noktada kesmektedir. Bu polinomun derecesi ve başkatsayısı hakkında hangisi söylenebilir?
- A) Derecesi en az 3'tür, başkatsayısı pozitiftir.
- B) Derecesi en az 4'tür, başkatsayısı negatiftir.
- C) Derecesi en az 4'tür, başkatsayısı pozitiftir.
- D) Derecesi en az 5'tir, başkatsayısı negatiftir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Derecesi en az 4'tür, başkatsayısı negatiftir.
x eksenini 4 farklı noktada kestiği için derecesi en az 4'tür. İki ucun da aynı yöne (aşağı) gitmesi derecenin çift olduğunu ve başkatsayının negatif olduğunu gösterir.
4. P(x) = a * (x - 1)^3 * (x + 5) polinomu veriliyor. 'a' değerinin pozitif bir reel sayı olduğu biliniyor. X değerleri eksi sonsuza (çok küçük değerlere) doğru giderken fonksiyon grafiğinin hareketi hakkında ne söylenebilir?
- A) Artı sonsuza (yukarı) doğru hareket eder.
- B) Eksi sonsuza (aşağı) doğru hareket eder.
- C) x eksenine paralel devam eder.
- D) Orijine yaklaşır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Artı sonsuza (yukarı) doğru hareket eder.
Polinomun toplam derecesi 3+1 = 4'tür (çift derece). Başkatsayı (a) pozitif olduğu için fonksiyonun her iki ucu da (hem + hem - sonsuzda) artı sonsuza, yani yukarı doğru hareket eder.
5. Bir P(x) polinom fonksiyonunun grafiği x eksenini yalnızca x = -1 ve x = 3 noktalarında kesmektedir (ortak kökü yoktur). Grafiğin x = 3 noktasında eksene teğet olduğu ve P(0) < 0 olduğu biliniyor. Bu polinomun derecesi en az 3 ise, başkatsayısı hakkında ne söylenebilir?
- A) Kesinlikle negatiftir.
- B) Kesinlikle pozitiftir.
- C) 0 olabilir.
- D) Verilen bilgilerle bulunamaz.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Kesinlikle negatiftir.
En küçük dereceli polinomu P(x) = a*(x+1)*(x-3)^2 şeklinde kurabiliriz. x=3'te teğet olduğu için (x-3) çift kuvvetli olmalıdır. x=0 koyduğumuzda P(0) = a * 1 * 9 = 9a olur. Soruda P(0) < 0 verildiği için 9a < 0, yani a < 0 çıkar. Bu nedenle başkatsayısı kesinlikle negatiftir.