12. Sınıf Matematik · Ünite 1
Sayıların Gizli Ritmi: Aritmetik ve Geometrik Diziler
Sayı örüntülerinin ardışık terimleri arasındaki ilişkileri inceleyerek, aritmetik ve geometrik dizilerin genel terimlerini ile sonlu toplam formüllerini gerçek hayat problemleri üzerinden öğreniyoruz.
Kazanım MAT.12.1.1 · 45 dk okuma
Sayıların Ritmini Keşfetmek
Hayatımızdaki birçok olay rastgele gerçekleşmez. Kumbaramıza her hafta attığımız sabit miktardaki paralar, bir bakteri kültürünün saatlik çoğalma hızı veya bir tiyatro salonundaki koltukların dizilişi belirli bir matematiksel kuralı takip eder. İşte ardışık sayılar arasındaki bu düzenli ilişkilere 'dizi' adını veriyoruz.
Aritmetik Diziler: Sabit Adımlı Değişim
Ardışık terimleri arasındaki farkın her zaman sabit olduğu dizilere aritmetik dizi denir. Bu sabit sayıya 'ortak fark' deriz ve 'd' ile gösteririz. Bir aritmetik dizide herhangi bir terimi bulmak için, ilk terimin üzerine istediğimiz adıma ulaşana kadar ortak farkı ekleriz. Bu mantıkla genel terim formülümüz şu şekildedir:
Peki bu dizinin ilk 'n' teriminin toplamını (S_n) nasıl buluruz? Ünlü matematikçi Gauss'un henüz ilkokuldayken 1'den 100'e kadar olan sayıları toplarken keşfettiği zekice yöntemi hatırlayın: baştan ve sondan terimleri eşleştirerek toplamak! Bu varsayımdan yola çıkarak aritmetik dizilerin sonlu toplam formülünü şöyle genelleriz:
Geometrik Diziler: Katlanarak Büyümenin Gücü
Eğer ardışık terimler arasındaki 'fark' değil de 'oran' sabitse, karşımızda geometrik bir dizi var demektir. Sürekli aynı sayıyla çarparak ilerleriz. Bu sabit çarpana 'ortak çarpan' (r) deriz. Geometrik diziler doğadaki üstel büyümeyi (örneğin hücre bölünmesini) modellemek için harikadır.
Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı ise özellikle bileşik faiz hesaplamaları ve popülasyon genetiği gibi gerçek hayat problemlerinde çok işimize yarayan şu güçlü formülle ifade edilir:
Yukarıdaki grafikte mavi çizgi her adımda sabit bir miktar artan aritmetik diziyi, kırmızı çizgi ise katlanarak artan geometrik diziyi temsil eder. Gördüğünüz gibi, geometrik büyüme başlangıçta yavaş görünse de kısa sürede çok büyük değerlere ulaşır!
Sayıların Gizli Ritmi: Aritmetik ve Geometrik Diziler: Alıştırma Soruları
1. İlk terimi 7 ve ortak farkı 4 olan bir aritmetik dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 4n + 3
- B) 4n + 7
- C) 7n + 4
- D) 3n + 4
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 4n + 3
Aritmetik dizinin genel terim formülü a_n = a_1 + (n-1)d şeklindedir. a_1 = 7 ve d = 4 yerine yazılırsa: a_n = 7 + (n-1)4 = 7 + 4n - 4 = 4n + 3 bulunur.
2. 5, 10, 20, 40... şeklinde ilerleyen geometrik dizinin 7. terimi kaçtır?
- A) 160
- B) 320
- C) 640
- D) 1280
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 320
Bu geometrik dizinin ilk terimi a_1 = 5 ve ortak çarpanı r = 10/5 = 2'dir. a_7 = a_1 * r^6 formülünden a_7 = 5 * 2^6 = 5 * 64 = 320 elde edilir.
3. Bir tiyatro salonunda ilk sırada 15 koltuk vardır. Arkaya doğru her sırada koltuk sayısı 3 artmaktadır. Salonda toplam 12 sıra bulunduğuna göre bu tiyatro salonunun toplam kapasitesi kaç kişiliktir?
- A) 360
- B) 378
- C) 396
- D) 414
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 378
Bu bir aritmetik dizi problemidir. a_1 = 15, d = 3 ve n = 12'dir. İlk 12 terimin toplamı S_12 = (12/2) * [2*15 + (12-1)*3] = 6 * (30 + 33) = 6 * 63 = 378 bulunur.
4. Pozitif terimli bir geometrik dizide 5. terim 48 ve 2. terim 6'dır. Bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı kaçtır?
- A) 30
- B) 45
- C) 60
- D) 75
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 45
a_5 / a_2 = r^3 olduğundan 48 / 6 = 8 = r^3, buradan r = 2 bulunur. a_2 = a_1 * r olduğundan 6 = a_1 * 2 ve a_1 = 3'tür. İlk 4 terim sırasıyla 3, 6, 12 ve 24 olur. Toplamları 3+6+12+24 = 45'tir.
5. Bir araştırmacı, incelediği bir virüs türünün hücre sayısının her saat başı tam 3 katına çıktığını gözlemliyor. Başlangıçta (0. saat) ortamda 10 hücre olduğuna göre, 5. saatin sonuna kadar olan süre içinde yapılan tüm saat başı ölçümlerin (0., 1., 2., 3., 4. ve 5. saatler) toplam hücre değeri kaçtır?
- A) 2420
- B) 3640
- C) 1210
- D) 3630
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 3640
Başlangıç değeri (0. saat) dizinin 1. terimidir. Dolayısıyla 5. saatin sonu dizinin 6. terimi olur. Geometrik dizi için a_1 = 10, r = 3 ve n = 6'dır. S_6 = 10 * (3^6 - 1) / (3 - 1) = 10 * (729 - 1) / 2 = 5 * 728 = 3640 elde edilir.