Online Kolej
Kayıt Ol

12. Sınıf Matematik · Ünite 1

Sayıların Gizli Ritmi: Aritmetik ve Geometrik Diziler

Sayı örüntülerinin ardışık terimleri arasındaki ilişkileri inceleyerek, aritmetik ve geometrik dizilerin genel terimlerini ile sonlu toplam formüllerini gerçek hayat problemleri üzerinden öğreniyoruz.

Kazanım MAT.12.1.1 · 45 dk okuma

Sayıların Ritmini Keşfetmek

Hayatımızdaki birçok olay rastgele gerçekleşmez. Kumbaramıza her hafta attığımız sabit miktardaki paralar, bir bakteri kültürünün saatlik çoğalma hızı veya bir tiyatro salonundaki koltukların dizilişi belirli bir matematiksel kuralı takip eder. İşte ardışık sayılar arasındaki bu düzenli ilişkilere 'dizi' adını veriyoruz.

Aritmetik Diziler: Sabit Adımlı Değişim

Ardışık terimleri arasındaki farkın her zaman sabit olduğu dizilere aritmetik dizi denir. Bu sabit sayıya 'ortak fark' deriz ve 'd' ile gösteririz. Bir aritmetik dizide herhangi bir terimi bulmak için, ilk terimin üzerine istediğimiz adıma ulaşana kadar ortak farkı ekleriz. Bu mantıkla genel terim formülümüz şu şekildedir:

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d

Peki bu dizinin ilk 'n' teriminin toplamını (S_n) nasıl buluruz? Ünlü matematikçi Gauss'un henüz ilkokuldayken 1'den 100'e kadar olan sayıları toplarken keşfettiği zekice yöntemi hatırlayın: baştan ve sondan terimleri eşleştirerek toplamak! Bu varsayımdan yola çıkarak aritmetik dizilerin sonlu toplam formülünü şöyle genelleriz:

Sn=n2(a1+an)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

Geometrik Diziler: Katlanarak Büyümenin Gücü

Eğer ardışık terimler arasındaki 'fark' değil de 'oran' sabitse, karşımızda geometrik bir dizi var demektir. Sürekli aynı sayıyla çarparak ilerleriz. Bu sabit çarpana 'ortak çarpan' (r) deriz. Geometrik diziler doğadaki üstel büyümeyi (örneğin hücre bölünmesini) modellemek için harikadır.

an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı ise özellikle bileşik faiz hesaplamaları ve popülasyon genetiği gibi gerçek hayat problemlerinde çok işimize yarayan şu güçlü formülle ifade edilir:

Sn=a1⋅1−rn1−rS_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
Aritmetik BüyümeGeometrik Büyüme

Yukarıdaki grafikte mavi çizgi her adımda sabit bir miktar artan aritmetik diziyi, kırmızı çizgi ise katlanarak artan geometrik diziyi temsil eder. Gördüğünüz gibi, geometrik büyüme başlangıçta yavaş görünse de kısa sürede çok büyük değerlere ulaşır!

auto_awesome

Sayıların Gizli Ritmi: Aritmetik ve Geometrik Diziler: Alıştırma Soruları

  1. Soru 1

    1. İlk terimi 7 ve ortak farkı 4 olan bir aritmetik dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?

  2. Soru 2

    2. 5, 10, 20, 40... şeklinde ilerleyen geometrik dizinin 7. terimi kaçtır?

  3. Soru 3

    3. Bir tiyatro salonunda ilk sırada 15 koltuk vardır. Arkaya doğru her sırada koltuk sayısı 3 artmaktadır. Salonda toplam 12 sıra bulunduğuna göre bu tiyatro salonunun toplam kapasitesi kaç kişiliktir?

  4. Soru 4

    4. Pozitif terimli bir geometrik dizide 5. terim 48 ve 2. terim 6'dır. Bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı kaçtır?

  5. Soru 5

    5. Bir araştırmacı, incelediği bir virüs türünün hücre sayısının her saat başı tam 3 katına çıktığını gözlemliyor. Başlangıçta (0. saat) ortamda 10 hücre olduğuna göre, 5. saatin sonuna kadar olan süre içinde yapılan tüm saat başı ölçümlerin (0., 1., 2., 3., 4. ve 5. saatler) toplam hücre değeri kaçtır?

1 soru daha seni bekliyor

Ücretsiz kaydol; Sayıların Gizli Ritmi: Aritmetik ve Geometrik Diziler testini puanlı çöz, XP kazan ve takıldığın yeri yapay zeka öğretmenine sor.

Ücretsiz Kaydol