12. Sınıf Matematik · Ünite 1
Sonsuzluğa Uzanan Adımlar: Diziler ve Fonksiyonların Dünyası
Gerçek sayı dizileri ile gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlar arasındaki ince çizgiyi, aralarındaki benzerlikleri ve farklılıkları gerçek hayattan örneklerle inceliyoruz.
Kazanım MAT.12.1.2 · 30 dk okuma
Matematikte hayatın ritmini yakaladığımız örüntüleri incelemenin en zarif yolu 'diziler' kavramından geçer. 12. sınıfın bu eşsiz konusunda, yıllardır tanıdığımız ve kullandığımız 'fonksiyonlar' ile yeni dostumuz 'diziler' arasında bir köprü kuracağız.
Dizi Nedir? Fonksiyonla Olan Gizli Bağı Ne?
Aslında aramızda kalsın, her dizi özel bir fonksiyondur! Ancak kuralları biraz daha katıdır. Gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon, içine her türlü gerçek sayıyı (kareköklü, ondalıklı, negatif) kabul edebilirken, bir dizi sadece pozitif tam sayıları, yani 'sayma sayılarını' kabul eder. Bir yarışmadaki sıralama gibidir: 1. kişi, 2. kişi, 3. kişi vardır ama 'bir buçukuncu' kişi yoktur.
Yukarıdaki matematiksel ifadede gördüğümüz gibi, genel terimi a_n olan bir dizi, tanım kümesi sadece sayma sayıları olan bir f(n) fonksiyonudur.
Ortak Yönlerimiz: Benzerlikler
- Her ikisi de bir girdiyi, belirli bir kurala göre çıktıya (gerçek sayıya) dönüştürür.
- Her ikisinin de davranışını grafik üzerinden inceleyebiliriz.
- Tıpkı fonksiyonlar gibi, diziler de monoton artan veya monoton azalan olabilir. Örneğin her gün bankaya düzenli para yatırdığınızda biriken para miktarı monoton artan bir dizidir.
Yollarımızın Ayrıldığı Yer: Farklılıklar
En belirgin farklılık tanım kümelerinden kaynaklanır ve bu durum grafikleri doğrudan etkiler. Bir fonksiyonun içine tüm gerçek sayıları atabildiğimiz için grafiği kesintisiz bir çizgi (sürekli) şeklindedir. Diziler ise sadece sayma sayılarını (1, 2, 3...) kabul ettiği için grafiği sıçrayan, ayrık noktalardan ibarettir.
Bu temel farklılık, limiti veya türevi düşünürken dizilerle fonksiyonları ayırmamızı sağlayan en önemli etkendir. Dizilerdeki 'ortak fark' (aritmetik dizide) veya 'ortak oran' (geometrik dizide), bu ayrık adımların arasındaki değişimi ifade eder.
Sonsuzluğa Uzanan Adımlar: Diziler ve Fonksiyonların Dünyası: Alıştırma Soruları
1. Bir gerçek sayı dizisi ile gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon arasındaki en temel fark aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Dizilerin grafiğinin çizilememesi
- B) Fonksiyonların bir genel teriminin olmaması
- C) Dizilerin tanım kümesinin sadece pozitif tam sayılardan (sayma sayıları) oluşması
- D) Fonksiyonların yalnızca artan yapıda olabilmesi
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Dizilerin tanım kümesinin sadece pozitif tam sayılardan (sayma sayıları) oluşması
Diziler, tanım kümesi sayma sayıları olan özel fonksiyonlardır. Fonksiyonlar tüm gerçek sayıları tanım kümesine alabilirken, diziler yalnızca 1, 2, 3... gibi sayma sayılarını girdi olarak kabul eder.
2. Aşağıdaki özelliklerden hangisi hem gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlar hem de gerçek sayı dizileri için ORTAK bir özelliktir?
- A) Grafiklerinin kesintisiz, sürekli bir çizgi olması
- B) Belirli bir aralıkta veya genel olarak monoton artan ya da monoton azalan olabilmeleri
- C) Girdi olarak irrasyonel sayıları kabul edebilmeleri
- D) Sadece pozitif sonuçlar üretmeleri
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Belirli bir aralıkta veya genel olarak monoton artan ya da monoton azalan olabilmeleri
Hem fonksiyonlar hem de diziler girdileri büyüdükçe sürekli artan (monoton artan) veya azalan (monoton azalan) bir örüntü sergileyebilirler. Diğer şıklar sadece biri için geçerli ya da ikisi için de yanlıştır.
3. Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = 3x - 2 fonksiyonu ile genel terimi a_n = 3n - 2 olan bir diziyi ele alalım. Buna göre, f(1.5) + a_3 işleminin sonucu kaçtır?
- A) 7.5
- B) 8.5
- C) 9.5
- D) 10.5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 9.5
Fonksiyonlar gerçek sayı kabul ettiği için f(1.5) = 3(1.5) - 2 = 4.5 - 2 = 2.5 olur. Dizi ise pozitif tam sayılarla çalışır, 3. terim a_3 = 3(3) - 2 = 9 - 2 = 7 olur. Toplamları: 2.5 + 7 = 9.5 bulunur.
4. Bir öğrenci kartezyen koordinat sistemine bir gerçek sayı dizisinin grafiğini çizmektedir. Bu grafiğin görünümü ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- A) Orijinden geçen sürekli bir doğru şeklindedir.
- B) Parabolik ve kesintisiz bir eğridir.
- C) Apsisleri (x eksenindeki değerleri) ardışık sayma sayıları olan ayrık noktalardan oluşur.
- D) Tanım kümesi negatif tam sayıları da içerecek şekilde y ekseninin solunda da noktalar bulundurur.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Apsisleri (x eksenindeki değerleri) ardışık sayma sayıları olan ayrık noktalardan oluşur.
Dizilerin tanım kümesi sayma sayılarıdır (1, 2, 3...). Bu nedenle x ekseninde sadece bu sayılara karşılık gelen noktalarda değer alırlar ve grafikleri birleştirilmemiş, ayrık noktalardan oluşur.
5. f(x) = mx + n doğrusal fonksiyonu ve ortak farkı d olan (a_n) aritmetik dizisi veriliyor. m = d = 2 olduğu biliniyor. Eğer f(1) = a_1 = 5 ise, f(4.5) - a_4 işleminin sonucu kaçtır?
- A) 0
- B) 1
- C) 2
- D) 3
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 1
Doğrusal fonksiyonun eğimi (m) 2 ise, f(x) = 2x + n'dir. f(1)=5 olduğundan 2(1)+n=5 => n=3'tür. Yani f(x) = 2x + 3. Dizi için ilk terim 5 ve ortak fark 2 ise, a_n = a_1 + (n-1)d = 5 + (n-1)2 = 2n + 3'tür. Bizden f(4.5) ve a_4 farkı isteniyor. f(4.5) = 2(4.5) + 3 = 12. a_4 = 2(4) + 3 = 11. Fark: 12 - 11 = 1.