6. Sınıf Matematik · Ünite 4
Çemberde Merkez Açı ve Yay Uzunluğu: Gizemli Dilimler
Bir çemberde porsiyonları büyüttükçe kenar uzunluğunun nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Merkez açı ile yayın uzunluğu arasındaki o kusursuz örüntüyü birlikte keşfedeceğiz.
Kazanım MAT.6.4.6 · 40 dk okuma
Hoş Geldiniz! Pizzayı Nasıl Dilimleriz?
Düşünün ki kocaman yuvarlak bir pizzanız var ve bunu arkadaşlarınızla paylaşacaksınız. Bir dilimin büyüklüğü, ortadaki açının büyüklüğüne bağlıdır değil mi? Açıyı ne kadar büyük tutarsanız, dilim o kadar geniş olur ve kenarındaki o çıtır hamur kısmı da o kadar uzar. İşte matematikte, köşesi çemberin tam merkezinde olan açıya 'merkez açı', bu açının sınırladığı çember parçasına ise 'yay' diyoruz.
Örüntüyü Keşfedelim: Çemberde Turlamak
Bütün bir çemberin etrafında tam bir tur atarsak 360 derecelik bir açı taramış oluruz. Peki ya çemberin tamamını değil de sadece belirli bir kısmını dolaşırsak ne olur? Gelin bazı ölçüleri gözlemleyelim:
- Eğer 180 derecelik bir merkez açı çizersek, bu 360'ın tam yarısıdır. Dolayısıyla bu açının gördüğü yay uzunluğu da, çemberin tüm çevresinin tam yarısı olur.
- Eğer 90 derecelik bir merkez açı çizersek, bu 360'ın dörtte biridir (360 bölü 90 eşittir 4). Öyleyse yay uzunluğu da çemberin tüm çevresinin dörtte biri kadar olacaktır.
- Eğer 60 derecelik bir açı alırsak, bu çemberin altıda biridir (360 bölü 60 eşittir 6). Demek ki yay uzunluğu, tam çevrenin altıda biri kadardır.
Genelleme Zamanı: Sihirli Formülümüz
Bir çemberin tam çevresini nasıl bulduğumuzu hatırlayalım: İki çarpı pi çarpı yarıçap. Merkez açımıza 'a' dersek, yay uzunluğunu bulmak için tüm çevreyi açının çemberdeki payı (a/360) ile çarpmamız yeterlidir.
Dönme Dolapta Bir Gezinti
Büyük bir dönme dolaba bindiğini hayal et. Dönme dolabın yarıçapı 10 metre olsun ve sen 72 derecelik bir dönüş yapmış ol. (Pi sayısını 3 alalım). Havada kaç metre yol aldığını bulalım. Önce dönme dolabın tam çevresini hesaplarız:
Sonra 72 derecenin, 360'ın kaçta kaçı olduğunu buluruz. 360'ı 72'ye böldüğümüzde 5 buluruz. Yani tam turun beşte biri kadar döndün! Son olarak çevreyi 5'e böleriz:
İşte bu kadar basit! Merkez açıları kullanarak çevredeki parçaların uzunluğunu ustalıkla hesaplayabiliyoruz.
Çemberde Merkez Açı ve Yay Uzunluğu: Gizemli Dilimler: Alıştırma Soruları
1. Yarıçapı 5 cm olan bir çemberde 180 derecelik merkez açının gördüğü yay uzunluğu, bu çemberin tam çevre uzunluğunun kaçta kaçıdır?
- A) Yarısı
- B) Üçte biri
- C) Dörtte biri
- D) Tamamı
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Yarısı
180 derece, bir tam tur olan 360 derecenin tam yarısıdır (180/360 = 1/2). Bu yüzden 180 derecelik açının kestiği yay da tam çevrenin yarısına eşittir.
2. 90 derecelik bir merkez açının gördüğü yayın uzunluğu 10 cm'dir. Buna göre bu çemberin tamamının çevre uzunluğu kaç cm'dir?
- A) 20
- B) 30
- C) 40
- D) 50
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 40
90 derece, çemberin (360 derecenin) dörtte biridir. Dörtte birinin uzunluğu 10 cm ise, tamamının uzunluğunu bulmak için 10 ile 4'ü çarparız: 10 x 4 = 40 cm'dir.
3. Yarıçapı 6 cm olan bir çemberde, 60 derecelik merkez açının kestiği yayın uzunluğu kaç cm'dir? (π = 3 alınız)
- A) 3
- B) 6
- C) 9
- D) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 6
Önce tam çevreyi bulalım: Çevre = 2 x 3 x 6 = 36 cm'dir. 60 derece, 360 derecenin altıda biridir (360 / 60 = 6). Yay uzunluğu tam çevrenin altıda biri olacağı için 36 / 6 = 6 cm'dir.
4. Tam çevre uzunluğu 120 cm olan bir koşu parkurunda (çember şeklinde), 40 cm uzunluğundaki virajı (yayı) gören merkez açının ölçüsü kaç derecedir?
- A) 60
- B) 90
- C) 120
- D) 150
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 120
40 cm'lik yol, 120 cm'lik tam parkurun üçte biridir (120 / 40 = 3). Dolayısıyla, merkez açı da 360 derecenin üçte biri olmalıdır. 360 / 3 = 120 derecedir.
5. Tekerlek yarıçapı 30 cm olan bir bisiklet ilerlediğinde, tekerlek üzerindeki kırmızı bir bant 45 cm yol almıştır. Bu esnada tekerlek kendi etrafında kaç derecelik bir merkez açı çizerek dönmüştür? (π = 3 alınız)
- A) 45
- B) 60
- C) 90
- D) 120
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 90
Tekerleğin tam çevresi = 2 x 3 x 30 = 180 cm'dir. Alınan yol (yay) ise 45 cm. 45 cm, 180 cm'nin tam dörtte biridir (180 / 45 = 4). Bu nedenle tekerlek tam bir turun dörtte biri kadar dönmüştür. 360 derecenin dörtte biri: 360 / 4 = 90 derecedir.