6. Sınıf Matematik · Ünite 2

Örüntülerin Gizemi ve Çokgenlerin Sırrı

Sayı ve şekil örüntülerinin kurallarını cebirsel olarak ifade etmeyi keşfedecek, çokgenlerin iç ve dış açıları arasındaki matematiksel ilişkileri ortaya çıkaracağız.

Kazanım MAT.6.2.2 · 40 dk okuma

Hoş Geldin Örüntü Dedektifi!

Doğada, mimaride, hatta en sevdiğin müziklerde bile tekrar eden belirli bir düzen vardır. Biz bu düzene matematik dilinde 'örüntü' diyoruz. Bir şekil veya sayı dizisinin nasıl büyüdüğünü anlamak, gelecekte ne olacağını tahmin etmemizi sağlar. Şimdi seninle, adım sayısı ile o adımdaki eleman sayısı arasındaki ilişkiyi bulma oyununa başlıyoruz.

Şekil ve Sayı Örüntülerinde Kuralı Bulmak

Aşağıdaki gibi ilerleyen bir sayı örüntüsü hayal edelim: 5, 8, 11, 14...

5, 8, 11, 14, \dots

Bu örüntüde sayılar hep 3'er 3'er artıyor. Peki, ben sana 100. adımda hangi sayının olduğunu sorsam, tek tek sayacak mısın? Tabii ki hayır! İşte burada imdadımıza cebirsel ifadeler yetişiyor. Adım sayısını 'n' harfi ile gösterelim. Örüntümüz 3'er arttığı için kuralın içinde '3n' olmalı. 1. adımda (n=1) sonucun 5 çıkması için 3 x 1 = 3 sayısına 2 eklemeliyiz. O halde bu örüntünün gizli şifresi (genel kuralı):

3n + 2

Çokgenlerin Açı Sırları

Şimdi örüntü kurma becerimizi geometriye taşıyalım. Çokgenlerin iç açılarının toplamını bulmak için harika bir örüntümüz var. En basit çokgenimiz olan üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunu biliyoruz. Peki bir dörtgenin, beşgenin veya altıgenin iç açıları toplamı nedir? Çokgenin bir köşesinden köşegenler çizerek onu üçgenlere ayırabiliriz.

Yukarıdaki 5 kenarlı beşgeni incele. Bir köşeden çizilen çizgiler onu tam 3 üçgene böldü. Eğer bir tablo yaparsak şöyle bir örüntü çıkar:

Üçgen (3 kenar) -> 1 üçgen oluşur (180 derece)
Dörtgen (4 kenar) -> 2 üçgen oluşur (360 derece)
Beşgen (5 kenar) -> 3 üçgen oluşur (540 derece)

Fark ettin mi? Kenar sayısı ile oluşan üçgen sayısı arasında sabit bir ilişki var: Üçgen sayısı hep kenar sayısının 2 eksiğidir! Kenar sayısına 'n' dersek, çokgenlerin iç açıları toplamı formülünü örüntü kurarak şu şekilde genelleyebiliriz:

(n - 2) \times 180^\circ

Düzgün Çokgenlerde Bir Açı

Düzgün çokgenler özeldir; çünkü bütün kenar uzunlukları ve bütün iç açıları birbirine eşittir. Eğer elimizde 'n' kenarlı düzgün bir çokgen varsa, sadece bir tane iç açısını bulmak için bulduğumuz toplam açıyı 'n' adet kenara (veya köşeye) böleriz.

\text{Bir İç Açı} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}

Bir de çokgenlerin dışına bakalım. Bir çokgen kaç kenarlı olursa olsun, dış açıları her zaman aynı sayıya toplanır: 360 derece! Bu sihirli bir kuraldır. O halde düzgün bir çokgende bir tane dış açıyı bulmak çok kolaydır:

\text{Bir Dış Açı} = \frac{360^\circ}{n}

auto_awesome