7. Sınıf Matematik · Ünite 7
Olayların Kesişim Noktası: Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar
Zarların ve çarkların dünyasına adım atarak olayların ortak noktaları olup olmadığını keşfedeceğimiz, ayrık ve ayrık olmayan olayları öğreneceğimiz eğlenceli bir ders.
Kazanım MAT.7.7.3 · 40 dk okuma
Heyecan Verici İhtimaller Dünyasına Hoş Geldin!
Hayatımızda bazen iki şey aynı anda gerçekleşebilirken, bazen birinin olması diğerini tamamen imkânsız kılar. Örneğin, bir kişinin aynı anda hem Ankara'da hem de İstanbul'da olması imkânsızdır. İşte matematikte ve olasılık hesaplamalarında da olayların bu şekilde aynı anda gerçekleşip gerçekleşememe durumuna göre onları özel olarak sınıflandırıyoruz.
Ayrık Olaylar Nelerdir?
Eğer aynı örnek uzaydaki (yani tüm olası sonuçlar kümesindeki) iki olayın hiçbir ortak çıktısı (sonucu) yoksa, bu olaylara 'ayrık olaylar' diyoruz. Adından da anlaşıldığı gibi bu olaylar birbirinden tamamen ayrıdır ve aynı anda gerçekleşemezler!
- Bir zar attığımızda zarın üst yüzüne gelen sayının hem tek sayı hem de çift sayı olması imkânsızdır. Tek sayılar 1, 3, 5 iken çift sayılar 2, 4, 6'dır. Hiçbir ortak sayı yoktur, yani bunlar ayrık olaylardır.
Ayrık Olmayan Olaylar Nelerdir?
Eğer iki olayın en az bir tane ortak çıktısı varsa, bu olaylara 'ayrık olmayan olaylar' diyoruz. Yani, bu iki olayın aynı anda gerçekleşme şansı vardır.
- Bir zar attığımızda zarın üst yüzüne gelen sayının 'çift sayı' ve 'asal sayı' olma durumunu düşünelim. Çift sayılar 2, 4, 6; asal sayılar ise 2, 3, 5'tir. Dikkat ettin mi? 2 sayısı her iki durumda da var! Ortak bir eleman olduğu için bu iki olay ayrık değildir.
Görselleştirerek Anlayalım
Venn şeması yardımıyla ayrık ve ayrık olmayan olayları kümeler halinde gösterebiliriz. Aşağıdaki çizimi dikkatle incele:
Olasılık ve Tümleyen Olaylar
Teorik olasılıkta bir olayın olasılığı, o olaya ait çıktıların sayısının tüm olası çıktıların sayısına oranıdır. Ayrıca çok önemli bir kavramımız daha var: Tümleyen Olaylar. Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme (tümleyeninin) olasılığının toplamı her zaman tam tama, yani 1'e eşittir.
Buradan çıkarmamız gereken harika bir ders var: Bir olay ile o olayın tümleyeni her zaman ayrık olaylardır! Neden mi? Çünkü bir şeyin aynı anda hem olması hem de olmaması imkânsızdır, ortak hiçbir çıktıları olamaz.
Olayların Kesişim Noktası: Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar: Alıştırma Soruları
1. Bir zar havaya atılıyor. Aşağıdaki olay ikililerinden hangisi 'ayrık olaylar'a örnektir?
- A) Zarın çift gelmesi ve asal sayı gelmesi
- B) Zarın tek sayı gelmesi ve 4'ten küçük gelmesi
- C) Zarın tek sayı gelmesi ve çift sayı gelmesi
- D) Zarın asal sayı gelmesi ve tek sayı gelmesi
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Zarın tek sayı gelmesi ve çift sayı gelmesi
Tek sayılar (1, 3, 5) ve çift sayılar (2, 4, 6) arasında hiçbir ortak sayı yoktur. Ortak elemanı olmayan olaylar ayrık olaylardır.
2. 1'den 10'a kadar (1 ve 10 dâhil) sayıların yazılı olduğu bir çark çevriliyor. A olayı ibrenin 3'ün katı bir sayıda durması, B olayı ise 4'ün katı bir sayıda durmasıdır. Bu iki olay için hangisi söylenebilir?
- A) Ayrık olaylardır çünkü ortak çıktıları yoktur.
- B) Ayrık olmayan olaylardır çünkü 12 sayısı ortaktır.
- C) Ayrık olaylardır çünkü ikisi de çift sayı barındırır.
- D) Kesin bir şey söylenemez.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Ayrık olaylardır çünkü ortak çıktıları yoktur.
1 ile 10 arasındaki 3'ün katları {3, 6, 9} ve 4'ün katları {4, 8}'dir. Ortak hiçbir sayı olmadığı için ayrık olaylardır. (12 sayısı bu örnek uzayda yoktur.)
3. Meteoroloji uzmanlarına göre yarın yağmur yağma olasılığı 0,3'tür. Buna göre yağmur yağmama olasılığı kaçtır ve yağmurun yağması ile yağmaması durumu matematiksel olarak nasıl olaylardır?
- A) 0,7 - Ayrık Olmayan Olaylar
- B) 0,7 - Ayrık Olaylar
- C) 0,3 - Ayrık Olaylar
- D) 1 - Ayrık Olmayan Olaylar
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 0,7 - Ayrık Olaylar
Bir olayın gerçekleşme ve gerçekleşmeme (tümleyen) olasılıkları toplamı 1'dir. Yağmama olasılığı 1 - 0,3 = 0,7 olur. Bir olay ve tümleyeni her zaman ayrık olaylardır.
4. 1'den 20'ye kadar numaralandırılmış toplardan rastgele bir top çekiliyor. A olayı topun numarasının 5'in katı olması, B olayı ise numaranın 15'ten büyük olmasıdır. Bu iki olay hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Ortak çıktıları olmadığı için ayrık olaylardır.
- B) Sadece 15 sayısı ortak olduğu için ayrık olmayan olaylardır.
- C) Sadece 20 sayısı ortak olduğu için ayrık olmayan olaylardır.
- D) Hem 15 hem 20 ortak olduğu için ayrık olaylardır.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Sadece 20 sayısı ortak olduğu için ayrık olmayan olaylardır.
A olayının çıktıları {5, 10, 15, 20} ve B olayının çıktıları {16, 17, 18, 19, 20}'dir. Her iki kümede de 20 sayısı ortak olduğu için bu olaylar ayrık değildir.
5. 30 kişilik bir sınıftaki öğrencilere 1'den 30'a kadar okul numarası verilmiştir. Rastgele seçilen bir öğrencinin numarası inceleniyor. C olayı: Numaranın 3'e tam bölünmesi. D olayı: Numaranın 4'e tam bölünmesi. C ve D olaylarının 'ayrık olmamasını' sağlayan ortak çıktılar kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) {12, 24}
- B) {3, 4, 12}
- C) {12, 16, 24}
- D) {24}
Cevabı göster
Doğru cevap: A) {12, 24}
Numaranın hem 3'e hem de 4'e tam bölünmesi, 12'ye tam bölünmesi anlamına gelir. 1'den 30'a kadar olan sayılar içinde 12'ye bölünen ortak çıktılar 12 ve 24'tür.