Karelerden İrrasyonel Sayılara Uzanan Yolculuk

Gizemli Tarlanın Sırrı

Bir çiftçinin kare şeklinde kocaman bir tarlası olduğunu düşünelim. Çiftçimiz tarlasının alanını çok iyi biliyor ama etrafına çit çekmek için bir kenar uzunluğunu bulması gerekiyor. Peki, alanı bilinen bir karenin kenar uzunluğunu nasıl buluruz?

Bir karenin bir kenarına 'a' dersek, alanını bulmak için a ile a'yı çarparız. Yani alanı cebirsel olarak bir sayının karesi şeklinde ifade ederiz:

Tam Kare Sayılar ve Karekök İşlemi

Diyelim ki tarlamızın alanı 64 metrekare. Hangi sayıyı kendisiyle çarparsak 64 eder? Çarpım tablosunu hatırlayalım: 8 kere 8, 64 yapar! İşte bir sayının karesini (alanı) bildiğimizde, o sayının kendisini (kenar uzunluğunu) bulma işlemine 'karekök alma' diyoruz ve özel bir sembolle gösteriyoruz.

Bir tam sayının karesi olan sayılara 'Tam Kare Pozitif Tam Sayılar' denir. Örneğin; 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64... Bu sayılar karekök dışına mükemmel bir şekilde tam sayı olarak çıkarlar.

Peki Ya Alan Tam Kare Değilse? Merhaba İrrasyonel Sayılar!

Şimdi işleri biraz değiştirelim. Ya çiftçinin tarlasının alanı 20 metrekare olsaydı? Hangi tam sayıyı kendisiyle çarparsak 20 eder? 4'ün karesi 16, 5'in karesi 25'tir. Demek ki alanı 20 olan karenin kenarı 4 ile 5 arasında bir uzunluğa sahip, ama tam sayı değil!

İşte tam kare olmayan sayıların karekökleri gibi, iki tam sayının birbirine bölümü şeklinde kesin olarak (kesir olarak) yazılamayan sayılara 'İrrasyonel Sayılar' diyoruz.

• Rasyonel Sayılar: İki tam sayının oranı şeklinde (a/b) yazılabilen uslu sayılardır. (Örn: 5, -2, 3/4, √25)
• İrrasyonel Sayılar: a/b şeklinde YAZILAMAYAN, virgülden sonrası sonsuza kadar düzensiz bir şekilde devam eden sayılardır. (Örn: π (pi) sayısı, √2, √20)

Özetle, her karenin alanından yola çıkarak mutlaka tam sayı bir kenar uzunluğu elde edemeyiz. Karşımıza çıkan bu yeni sayılar, matematiğin irrasyonel ama çok büyüleyici bir parçasıdır.