8. Sınıf Matematik · Ünite 1
Karelerden İrrasyonel Sayılara Uzanan Yolculuk
Karelerin alanlarından yola çıkarak tam kare sayıları, karekök kavramını ve rasyonel olmayan irrasyonel sayıları keşfediyoruz.
Kazanım MAT.8.1.2 · 30 dk okuma
Gizemli Tarlanın Sırrı
Bir çiftçinin kare şeklinde kocaman bir tarlası olduğunu düşünelim. Çiftçimiz tarlasının alanını çok iyi biliyor ama etrafına çit çekmek için bir kenar uzunluğunu bulması gerekiyor. Peki, alanı bilinen bir karenin kenar uzunluğunu nasıl buluruz?
Bir karenin bir kenarına 'a' dersek, alanını bulmak için a ile a'yı çarparız. Yani alanı cebirsel olarak bir sayının karesi şeklinde ifade ederiz:
Tam Kare Sayılar ve Karekök İşlemi
Diyelim ki tarlamızın alanı 64 metrekare. Hangi sayıyı kendisiyle çarparsak 64 eder? Çarpım tablosunu hatırlayalım: 8 kere 8, 64 yapar! İşte bir sayının karesini (alanı) bildiğimizde, o sayının kendisini (kenar uzunluğunu) bulma işlemine 'karekök alma' diyoruz ve özel bir sembolle gösteriyoruz.
Bir tam sayının karesi olan sayılara 'Tam Kare Pozitif Tam Sayılar' denir. Örneğin; 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64... Bu sayılar karekök dışına mükemmel bir şekilde tam sayı olarak çıkarlar.
Peki Ya Alan Tam Kare Değilse? Merhaba İrrasyonel Sayılar!
Şimdi işleri biraz değiştirelim. Ya çiftçinin tarlasının alanı 20 metrekare olsaydı? Hangi tam sayıyı kendisiyle çarparsak 20 eder? 4'ün karesi 16, 5'in karesi 25'tir. Demek ki alanı 20 olan karenin kenarı 4 ile 5 arasında bir uzunluğa sahip, ama tam sayı değil!
İşte tam kare olmayan sayıların karekökleri gibi, iki tam sayının birbirine bölümü şeklinde kesin olarak (kesir olarak) yazılamayan sayılara 'İrrasyonel Sayılar' diyoruz.
- Rasyonel Sayılar: İki tam sayının oranı şeklinde (a/b) yazılabilen uslu sayılardır. (Örn: 5, -2, 3/4, √25)
- İrrasyonel Sayılar: a/b şeklinde YAZILAMAYAN, virgülden sonrası sonsuza kadar düzensiz bir şekilde devam eden sayılardır. (Örn: π (pi) sayısı, √2, √20)
Özetle, her karenin alanından yola çıkarak mutlaka tam sayı bir kenar uzunluğu elde edemeyiz. Karşımıza çıkan bu yeni sayılar, matematiğin irrasyonel ama çok büyüleyici bir parçasıdır.
Karelerden İrrasyonel Sayılara Uzanan Yolculuk: Alıştırma Soruları
1. Alanı 121 cm² olan kare şeklindeki bir camın bir kenar uzunluğu kaç santimetredir?
- A) 9
- B) 10
- C) 11
- D) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 11
121 sayısı 11'in karesi olan tam kare bir sayıdır. Bu nedenle alanı 121 olan karenin bir kenar uzunluğu √121 = 11 cm olur.
2. Aşağıdaki sayılardan hangisi bir irrasyonel sayı örneğidir?
- A) √16
- B) √25
- C) √30
- D) √100
Cevabı göster
Doğru cevap: C) √30
√16 = 4, √25 = 5 ve √100 = 10 olarak kök dışına tam çıkar ve rasyonel sayıdır. Ancak 30 tam kare bir sayı olmadığı için kök dışına tam olarak çıkamaz, dolayısıyla irrasyoneldir.
3. Matematik dersinde 'karekök' konusunu işleyen Eda Öğretmen, tahtaya √49 işlemini yazar ve sonucunu sorar. Bir öğrenci sonucun 7 ya da -7 olabileceğini söyler. Öğrencinin bu düşüncesiyle ilgili hangisi doğrudur?
- A) Öğrenci haklıdır, çünkü (-7) x (-7) işlemi de 49 sonucunu verir.
- B) Öğrenci yanılmaktadır, çünkü bir sayının karekökü negatif bir sonuca eşit olamaz, sadece 7'dir.
- C) Öğrenci yanılmaktadır, çünkü -7'nin karesi -49 yapar.
- D) Bu işlemin sonucu irrasyonel olduğu için hiçbir tam sayıya eşit olamaz.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Öğrenci yanılmaktadır, çünkü bir sayının karekökü negatif bir sonuca eşit olamaz, sadece 7'dir.
Karekök kavramı geometrik olarak bir karenin kenar uzunluğunu bulmakla ilişkilidir. Uzunluk negatif olamayacağı gibi, karekök işleminin sonucu da matematiksel tanım gereği pozitif olarak (veya 0) çıkar. (-7)'nin karesi 49 olsa da √49'un değeri sadece +7'dir.
4. Alanı 60 m² olan kare şeklindeki bir oyun parkının bir kenar uzunluğu hangi ardışık iki tam sayı arasındadır?
- A) 6 ile 7
- B) 7 ile 8
- C) 8 ile 9
- D) 9 ile 10
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 7 ile 8
Oyun parkının kenar uzunluğu √60 metredir. 60 sayısı, tam kare olan 49 (7'nin karesi) ile 64 (8'in karesi) sayıları arasındadır. Bu yüzden √60 sayısı da 7 ile 8 arasında bir değerdir.
5. Kare şeklindeki üç farklı panonun alanları sırasıyla 9 m², 45 m² ve 144 m² olarak verilmiştir. Bu panoların çevre uzunlukları hesaplandığında, hangi panoların çevre uzunluğu rasyonel bir sayı olur?
- A) Sadece 1. pano
- B) 1. ve 3. panolar
- C) 2. ve 3. panolar
- D) Hepsi
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 1. ve 3. panolar
1. panonun kenarı √9 = 3 m (Çevresi 12 m, rasyonel). 2. panonun kenarı √45 m (Çevresi 4√45 m, irrasyonel). 3. panonun kenarı √144 = 12 m (Çevresi 48 m, rasyonel). Dolayısıyla cevap 1. ve 3. panolardır.