8. Sınıf Matematik · Ünite 1
Ondalık Gösterimlerin Sırrı: Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar
Sayıların ondalık gösterimlerini inceleyerek onların rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduklarına karar vermeyi öğreneceğiz.
Kazanım MAT.8.1.3 · 40 dk okuma
Virgülün Sağındaki Gizem
Matematikte her sayının bir ondalık gösterimi, yani virgüllü bir yazılışı vardır. Bir kesri ondalık sayıya çevirmek için sadece payı paydaya böleriz. Kareköklü sayıların ondalık değerlerini bulmak içinse genellikle hesap makinesinden yararlanırız. Peki, virgülden sonraki rakamların davranışları bize o sayının gerçek kimliği hakkında ne söyler? Gelin bunu keşfedelim!
Sonlu ve Devirli Sayılar (Düzenli Dünya)
Bazı bölme işlemleri tam olarak biter ve virgülden sonrası sonludur. Örneğin bir çeyreği temsil eden sayıyı düşünelim:
Bazen de bölme işlemi hiç bitmez ama virgülden sonrası belli bir kurala göre tekrar eder. Matematikte buna devirli ondalık gösterim deriz:
Gördüğünüz gibi, hem virgülden sonrası biten (sonlu) sayılar hem de bitmese bile düzenli tekrar eden (devirli) sayılar aslında bir kesrin sonucudur. Yani hepsi iki tam sayının bölümü (a/b) biçiminde yazılabilir. Bu yüzden bu tür sayılara 'Rasyonel Sayılar' adını veriyoruz.
Kural Tanımayan Sonsuzluk (İrrasyonel Dünya)
Şimdi bir de kök dışına tam çıkamayan sayılara bakalım. Örneğin 2'nin karekökü. Hesap makinesine yazıp sonucuna baktığımızda hiçbir düzen veya tekrar göremeyiz:
Burada virgülden sonraki rakamlar sonsuza kadar uzar gider ama asla belli bir kalıba göre tekrar etmez. Çemberin çevresini bulurken kullandığımız ünlü Pi sayısı da tıpkı böyledir! Bu düzensiz ve sonsuz ondalık gösterime sahip sayılar, iki tam sayının birbirine bölümü (a/b) şeklinde kesinlikle yazılamazlar. İşte bu özel sayılara 'İrrasyonel Sayılar' diyoruz.
Ondalık Gösterimlerin Sırrı: Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar: Alıştırma Soruları
1. Aşağıdaki ondalık gösterimlerden hangisi kesinlikle rasyonel bir sayıyı ifade eder?
- A) 3,14159265...
- B) 1,73205081...
- C) 0,125
- D) 2,23606797...
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 0,125
0,125 sayısı sonlu bir ondalık gösterimdir ve a/b şeklinde (125/1000) yazılabilir. Bu yüzden rasyoneldir. Diğer seçeneklerin tamamı düzensiz sonsuz devam etmektedir ve irrasyoneldir.
2. Bir hesap makinesinde işlem yapan Ayşe, ekranda '0,444444...' sonucunu görüyor ve sayının sonsuza kadar 4 rakamıyla devam ettiğini fark ediyor. Ayşe'nin bulduğu sayı türü için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) İrrasyoneldir çünkü virgülden sonrası sonsuza kadar gidiyor.
- B) Rasyoneldir çünkü virgülden sonrası devirli (düzenli) ilerliyor.
- C) Tam sayıdır çünkü aynı rakam tekrar ediyor.
- D) İrrasyoneldir çünkü a/b şeklinde yazılamaz.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Rasyoneldir çünkü virgülden sonrası devirli (düzenli) ilerliyor.
Bir sayının virgülden sonrasının sonsuza gitmesi onu doğrudan irrasyonel yapmaz. Eğer sayı belirli bir düzenle (devirli olarak) tekrar ediyorsa a/b şeklinde yazılabilir ve bu onu rasyonel sayı yapar.
3. Matematik dersinde öğretmen tahtaya şu sayıları yazar: I) 0,555... II) Kök 36 III) Kök 5 IV) 2,75. Bu sayılardan hangisi ondalık açılımı düzensiz sonsuz olduğu için irrasyonel bir sayıdır?
- A) Yalnız I
- B) Yalnız II
- C) Yalnız III
- D) III ve IV
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Yalnız III
I numaralı sayı devirlidir (rasyonel). II numaralı Kök 36 sayısı 6'ya eşittir ve tam sayıdır (rasyonel). IV numaralı 2,75 sayısı sonludur (rasyonel). Fakat III numaralı Kök 5 tam kare olmadığı için virgülden sonrası düzensiz biçimde sonsuza uzanır, yani irrasyoneldir.
4. Kök 2 sayısının ondalık gösterimi 1,41421356... şeklindedir ve hiçbir tekrar kuralı bulunmadan düzensiz bir biçimde sonsuza kadar gider. Buna göre, bu sayı için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle SÖYLENEMEZ?
- A) Sayı doğrusunda 1 ile 2 arasında bir yerdedir.
- B) İki tam sayının oranı (a/b) biçiminde yazılabilir.
- C) İrrasyonel bir sayıdır.
- D) Ondalık kısmı düzensiz sonsuzdur.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) İki tam sayının oranı (a/b) biçiminde yazılabilir.
Düzensiz ve sonsuza kadar giden ondalık gösterime sahip olan sayılar irrasyoneldir. İrrasyonel sayıların en temel özelliği, asla iki tam sayının oranı (a/b) biçiminde yazılamamalarıdır.
5. Karekök 1,44 ve Karekök 1,6 sayılarının ondalık açılımları hakkında yorum yapan bir öğrenci hangi seçenekte tam olarak doğruyu söylemektedir?
- A) İkisi de irrasyoneldir.
- B) İkisi de rasyoneldir.
- C) Karekök 1,44 rasyonel, Karekök 1,6 irrasyoneldir.
- D) Karekök 1,44 irrasyonel, Karekök 1,6 rasyoneldir.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Karekök 1,44 rasyonel, Karekök 1,6 irrasyoneldir.
Karekök 1,44 = Kök(144/100) = 12/10 = 1,2 olarak sonlu bir biçimde kök dışına çıkar ve rasyoneldir. Ancak Karekök 1,6 = Kök(16/10)'dur. 16 tam kare olsa da paydadaki 10 tam kare değildir, dolayısıyla kök dışına tam çıkamaz ve ondalık açılımı düzensiz sonsuz olan bir irrasyonel sayı oluşturur.