8. Sınıf Matematik · Ünite 5
Şekillerin Dansı: Öteleme Dönüşümü
Koordinat sisteminde şekilleri döndürmeden veya boyutlarını değiştirmeden nasıl kaydıracağımızı ve öteleme dönüşümünün temel kurallarını keşfediyoruz.
Kazanım MAT.8.5.1 · 40 dk okuma
Öteleme Dönüşümü Nedir?
Odanızdaki çalışma masasının yerini değiştirmek istediğinizi düşünün. Onu döndürmeden, sadece iterek odanın başka bir köşesine taşıdığınızda aslında bir 'öteleme' yapmış olursunuz. Matematikte öteleme, bir şeklin yönünü, boyutlarını ve açılarını değiştirmeden sadece bir yerden başka bir yere kaydırılması hareketidir.
Koordinat Sisteminde Şekilleri Kaydırmak
Bir şekli ötelediğimizde, şeklin üzerindeki her bir köşe aynı yönde ve aynı miktarda yer değiştirir. Koordinat düzleminde sağa doğru hareket x değerini artırırken, sola hareket azaltır. Benzer şekilde yukarı hareket y değerini artırır, aşağı hareket ise azaltır. Bunu matematiksel olarak şöyle gösteririz:
Şimdi aşağıdaki etkileşimli tahtada kırmızı üçgenin nasıl ötelendiğini inceleyin. Asıl üçgen ile ötelenmiş görüntüsü olan mavi üçgenin açı ve kenar uzunlukları tamamen aynıdır, sadece yerleri farklıdır.
Görüntü ile İlk Şekil Arasındaki İlişkiler
İlk şekil ile ötelenmiş görüntüsü her zaman birbirine eşittir (eştir). Öteleme öncesi ve sonrası karşılıklı köşeleri birleştiren hayali çizgiler çizerseniz, bu çizgilerin hepsinin birbirine paralel ve eşit uzunlukta olduğunu görürsünüz. Aşağıdaki görselde kırmızı dikdörtgenin maviye doğru öteleme yolculuğunu ve köşelerin nasıl aynı miktarda hareket ettiğini görebilirsiniz.
Asansörlerin katlar arasında inip çıkması, satrançtaki kale taşının düz ilerlemesi veya tablet ekranında bir ikonu parmağımızla kaydırmamız günlük hayattaki öteleme hareketlerine harika örneklerdir.
Şekillerin Dansı: Öteleme Dönüşümü: Alıştırma Soruları
1. Bir kare koordinat sisteminde 5 birim sağa ve 3 birim yukarı öteleniyor. Bu dönüşüm sonucunda karenin hangi özelliği değişir?
- A) Alanı
- B) Çevre uzunluğu
- C) Merkezinin koordinatları
- D) İç açılarının toplamı
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Merkezinin koordinatları
Öteleme hareketinde şeklin konumu değiştiği için köşelerinin ve merkezinin koordinatları değişir. Ancak boyut, çevre ve açı özellikleri aynı kalır.
2. A(2, -1) noktası x ekseni boyunca 4 birim sola, y ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelenirse oluşan yeni noktanın koordinatları ne olur?
- A) (-2, 2)
- B) (6, -4)
- C) (2, 3)
- D) (-2, -4)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (-2, 2)
Sola doğru 4 birim gitmek x değerini 4 azaltmak demektir (2 - 4 = -2). Yukarı doğru 3 birim gitmek y değerini 3 artırmak demektir (-1 + 3 = 2). Yeni nokta (-2, 2) olur.
3. Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 6 cm, diğeri 8 cm uzunluğundadır. Bu üçgen koordinat düzleminde 10 birim aşağı öteleniyor. Ötelenen üçgenin hipotenüs uzunluğu ve en büyük iç açısı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 10 cm ve 90 derece
- B) 14 cm ve 180 derece
- C) 10 cm ve 60 derece
- D) 14 cm ve 90 derece
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 10 cm ve 90 derece
Öncelikle Pisagor bağıntısından ilk üçgenin hipotenüsü 10 cm bulunur (6-8-10 özel üçgeni). Öteleme işlemi kenar uzunluklarını ve açıları değiştirmediği için yeni üçgenin de hipotenüsü 10 cm ve en büyük açısı (dik açı) yine 90 derecedir.
4. K(-4, 5) noktasında bulunan bir satranç taşı ötelenerek K'(3, 1) noktasına getiriliyor. Bu taşa uygulanan öteleme hareketi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 7 birim sağa, 4 birim yukarı
- B) 1 birim sola, 4 birim aşağı
- C) 7 birim sağa, 4 birim aşağı
- D) 7 birim sola, 6 birim yukarı
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 7 birim sağa, 4 birim aşağı
x koordinatı -4'ten 3'e çıkmıştır (3 - (-4) = +7), bu 7 birim sağa ötelenme demektir. y koordinatı ise 5'ten 1'e inmiştir (1 - 5 = -4), bu da 4 birim aşağı ötelenme demektir.
5. Köşeleri A(-2, 3), B(-2, -1) ve C(4, -1) olan bir ABC üçgeni ötelenerek A'B'C' üçgeni elde ediliyor. B' noktasının koordinatları (1, 4) olduğuna göre, C' noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
- A) 7
- B) 11
- C) 9
- D) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 11
B noktası (-2, -1)'den (1, 4)'e gitmiştir. Yani x ekseninde 3 birim sağa, y ekseninde 5 birim yukarı ötelenmiştir. Aynı kuralı C(4, -1) noktasına uygularsak: C'(4+3, -1+5) = C'(7, 4) elde edilir. Koordinatları toplamı 7 + 4 = 11'dir.