Online Kolej
Kayıt Ol

8. Sınıf Matematik · Ünite 5

Koordinat Sisteminde Şekillerin Dansı: Öteleme ve Yansıma

Koordinat sisteminde geometrik şekilleri sağa, sola, yukarı veya aşağı kaydırmayı (öteleme) ve eksenlere göre ayna görüntülerini (yansıma) almayı keşfediyoruz.

Kazanım MAT.8.5.2 · 40 dk okuma

Koordinat Sisteminde Harekete Hazır mısın?

En sevdiğin video oyununu düşün. Karakterini sağa, sola, yukarı veya aşağı hareket ettirdiğinde aslında ekrandaki piksellerin 'ötelenmesini' sağlıyorsun. Peki, karakterin bir su birikintisinin yanından geçerken sudaki aksini gördüğünde ne oluyor? İşte bu da 'yansıma'dır! Bugün koordinat sistemi üzerinde geometrik şekillerin ve noktaların bu iki büyülü hareketini inceleyeceğiz.

1. Öteleme (Kaydırma) Dönüşümü

Öteleme, bir şeklin yönünü, boyutunu ve biçimini hiç bozmadan sadece bir yerden başka bir yere kaydırılmasıdır. Koordinat sisteminde bir noktayı ötelediğimizde, o noktanın apsis (x) ve ordinat (y) değerlerinde tahmin edilebilir değişiklikler olur.

  • Sağa öteleme: Apsise (x) ekleme yapılır.
  • Sola öteleme: Apsisten (x) çıkarma yapılır.
  • Yukarı öteleme: Ordinata (y) ekleme yapılır.
  • Aşağı öteleme: Ordinattan (y) çıkarma yapılır.
P(x,y)→a birim sag˘, b birim yukarıP′(x+a,y+b)P(x, y) \xrightarrow{\text{a birim sağ, b birim yukarı}} P'(x+a, y+b)

Örneğin, A(2, 5) noktasını 3 birim sola ve 4 birim aşağı ötelersek, yeni noktamızın x değeri (2-3 = -1), y değeri ise (5-4 = 1) olur. Yani yeni noktamız A'(-1, 1) noktasına taşınır.

2. Yansıma (Simetri) Dönüşümü

Yansıma, bir şeklin belirli bir doğruya göre ayna görüntüsünün alınmasıdır. Koordinat sisteminde genellikle x ekseni veya y eksenini aynamız olarak kullanırız. Ayna hangi eksense, o eksen sabit kalırken diğer eksen yön değiştirir!

X eksenine go¨re yansıma: P(x,y)→P′(x,−y)\text{X eksenine göre yansıma: } P(x, y) \rightarrow P'(x, -y)
Y eksenine go¨re yansıma: P(x,y)→P′(−x,y)\text{Y eksenine göre yansıma: } P(x, y) \rightarrow P'(-x, y)
XYA(10, 10)A'(10, -10)X Eksenine Göre Yansıma

Yukarıdaki şekilde, mavi üçgen x eksenine göre yansıdığında kırmızı üçgeni oluşturur. Mavi üçgenin A(10, 10) köşesinin (görselde yukarıdaki köşe), x ekseninden sektiğinde A'(10, -10) noktasına dönüştüğüne, yani sadece Y değerinin işaret değiştirdiğine dikkat et!

3. Dönüşümleri Karşılaştıralım

Bir şekli ötelediğimizde şeklin duruşu (oryantasyonu) ve boyutu aynı kalır; sadece konumu değişir. Ancak bir şekli yansıttığımızda, şeklin boyutu aynı kalmasına rağmen yönü (sağı solu veya altı üstü) tersine döner. Kendine aynada sağ elini kaldırarak bakarsan, aynadaki yansımanın sol elini kaldırdığını göreceksin. İşte yansımada koordinatların işaret değiştirmesinin sebebi de bu ters dönme durumudur.

auto_awesome

Koordinat Sisteminde Şekillerin Dansı: Öteleme ve Yansıma: Alıştırma Soruları

  1. 1. A(4, -2) noktası koordinat sisteminde 3 birim sola öteleniyor. Bu öteleme işlemi sonucunda oluşan yeni noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) (7, -2)
    • B) (1, -2)
    • C) (4, -5)
    • D) (4, 1)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) (1, -2)

    Sola öteleme, apsisten (x değeri) çıkarma yapmak demektir. x değeri 4'ten 3 çıkarırsak 1 olur. Yukarı/aşağı öteleme olmadığı için y değeri (-2) değişmez. Yeni nokta (1, -2) olur.

  2. 2. K(-5, 3) noktasının y eksenine göre yansıması (simetriği) olan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) (5, -3)
    • B) (-5, -3)
    • C) (5, 3)
    • D) (3, -5)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) (5, 3)

    Y eksenine göre yansıma alındığında, y değeri sabit kalır, x değeri işaret değiştirir. K noktasının x değeri olan -5 işaret değiştirip +5 olur. Yeni nokta (5, 3) olarak bulunur.

  3. 3. Köşelerinin koordinatları A(1, 2), B(4, 2) ve C(1, 5) olan ABC üçgeni önce x eksenine göre yansıtılıyor, ardından oluşan görüntü x ekseni boyunca 2 birim sağa öteleniyor. Buna göre, A noktasının en son ulaştığı noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) (3, -2)
    • B) (-1, 0)
    • C) (1, -4)
    • D) (3, 2)
    Cevabı göster

    Doğru cevap: A) (3, -2)

    A(1, 2) noktasının x eksenine göre yansıması alındığında y işaret değiştirir ve A'(1, -2) olur. Ardından bu nokta 2 birim sağa ötelenirse x değeri 2 artar ve A''(1+2, -2) yani (3, -2) noktası elde edilir.

  4. 4. Bir P(x, y) noktası 4 birim yukarı ötelenip, y eksenine göre yansıması alındığında P'(-2, 7) noktası elde ediliyor. Buna göre başlangıçtaki P noktasının koordinatları toplamı (x + y) kaçtır?

    • A) 1
    • B) 3
    • C) 5
    • D) 9
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 5

    İşlemleri tersine çevirelim: P'(-2, 7) noktası y eksenine göre yansıtılarak elde edilmişse, yansımadan önce x'in işareti farklıydı, yani (2, 7)'ydi. (2, 7) noktası 4 birim yukarı ötelenmiş halidir. Ötelemeden önceki orijinal halini bulmak için 4 birim aşağı indiririz: y değeri 7-4 = 3 olur. Demek ki orijinal P noktası P(2, 3)'tür. x+y = 2+3 = 5 bulunur.

  5. 5. Dik koordinat sisteminde verilen bir karenin bir köşesi A(-3, 4)'tür. Bu kare x ekseni boyunca 'a' birim sağa, y ekseni boyunca 'b' birim aşağı öteleniyor. Öteleme sonrasında A noktasının görüntüsü, başlangıçtaki A noktasının x eksenine göre yansıması ile tamamen aynı noktaya denk gelmektedir. Buna göre a + b toplamı kaçtır?

    • A) 4
    • B) 6
    • C) 8
    • D) 12
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 8

    Önce A(-3, 4)'ün x eksenine göre yansımasını bulalım: y işaret değiştirir, (-3, -4) olur. Soruda A noktasının 'a' sağa, 'b' aşağı ötelenmiş halinin (-3, -4) olduğu söyleniyor. Ötelenmiş nokta: (-3+a, 4-b). Eşitlersek: -3+a = -3 (buradan a=0) ve 4-b = -4 (buradan b=8). Sonuç olarak a+b = 0+8 = 8 olur.

1 soru daha seni bekliyor

Ücretsiz kaydol; Koordinat Sisteminde Şekillerin Dansı: Öteleme ve Yansıma testini puanlı çöz, XP kazan ve takıldığın yeri yapay zeka öğretmenine sor.

Ücretsiz Kaydol