9. Sınıf Matematik · Ünite 5
Aynalar ve Kızaklar: Yansıma ve Öteleme
Ortaokulda öğrendiğimiz yansıma ve öteleme dönüşümlerini hatırlayarak, bu dönüşümlerin altındaki şekillerin değişen ve değişmeyen özelliklerini keşfedeceğiz.
Kazanım MAT.9.5.1 · 40 dk okuma
Gündelik hayatımızda sabahları aynaya baktığımızda kendimizi görürüz. Ya da telefonumuzun ekranını kaydırdığımızda simgeler bir yerden başka bir yere hareket eder. İşte bu basit ve sıradan olayların arkasında matematiğin iki güçlü kavramı yatar: Yansıma ve Öteleme! Ortaokulda bu iki kavramla tanışmıştınız. Şimdi bir adım daha ileri gidip, bu dönüşümlerin 'neleri değiştirdiğini' ve 'neleri aynı bıraktığını' dedektif gibi inceleyeceğiz.
Yansıma: Aynadaki Gizem
Bir şeklin bir doğruya (eksen) göre simetriğinin alınmasına yansıma diyoruz. Aynaya sağ elinizi kaldırdığınızda, aynadaki görüntünüzün size göre sol elini kaldırdığını hiç fark ettiniz mi? Ambulansların önündeki yazıların neden ters yazıldığını düşünün. İşte bu, yansımanın en önemli özelliğidir.
- Şeklin boyutu, alanı ve çevre uzunluğu değişmez.
- İç açıların ölçüleri ve kenar uzunlukları sabit kalır.
- Şeklin eksene olan uzaklığı ile görüntünün eksene olan uzaklığı eşittir.
- Şeklin yönelimi (sağ-sol ilişkisi) tersine döner.
- Şeklin konumu değişir.
Öteleme: Şekli Bozmadan Kaydırma
Öteleme ise bir şeklin belirli bir yönde ve belirli bir mesafe boyunca dümdüz kaydırılmasıdır. Satranç tahtasında bir kaleyi düz bir çizgi boyunca ilerlettiğinizi ya da sürgülü bir kapıyı açtığınızı düşünün. Şekil olduğu gibi kalır, sadece haritadaki yeri değişir.
- Şeklin boyutu, alanı ve çevre uzunluğu değişmez.
- İç açıları ve kenar uzunlukları korunur.
- Şeklin yönelimi (baktığı yön) birebir aynı kalır.
- Sadece şeklin konumu (koordinatları) değişir.
Aşağıdaki etkileşimli tahtada mavi üçgenin köşelerinden tutarak onu kaydırın (öteleme). Kırmızı üçgenin (görüntünün) ayna eksenine göre nasıl anında tepki verdiğini ve yansıdığını gözlemleyin. Şekli değiştirseniz bile uzaklıkların nasıl korunduğunu keşfedin!
Aynalar ve Kızaklar: Yansıma ve Öteleme: Alıştırma Soruları
1. Aşağıdakilerden hangisi bir üçgenin öteleme dönüşümü altındaki görüntüsünde KESİNLİKLE değişen tek özelliktir?
- A) İç açılarının ölçüleri
- B) Çevre uzunluğu
- C) Düzlemdeki konumu
- D) Yönelimi (sağ-sol ilişkisi)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Düzlemdeki konumu
Öteleme işleminde şeklin boyutu, açıları ve yönelimi sabit kalır. Sadece şeklin düzlemdeki konumu (koordinatları) değişir.
2. Aynanın karşısına geçip sağ kolunuzu kaldırdığınızda aynadaki görüntünüzün size göre sol kolunu kaldırması, yansıma dönüşümünün hangi özelliğinin bir sonucudur?
- A) Alanın değişmemesi
- B) Yönelimin tersine dönmesi
- C) Uzaklıkların yarıya inmesi
- D) Şeklin büyümesi
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Yönelimin tersine dönmesi
Yansıma dönüşümünde şeklin yönelimi (saat yönü veya sağ-sol ilişkisi) daima tersine döner.
3. Ege, bilgisayarında çizdiği bir beşgene sırasıyla yansıma ve öteleme dönüşümleri uyguluyor. Son durumda elde ettiği görüntü ile ilk baştaki beşgeni karşılaştırdığında aşağıdaki çıkarımlardan hangisini yapması YANLIŞ olur?
- A) Her iki şeklin kapladığı alanlar tamamen eşittir.
- B) İki şeklin karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- C) İki şeklin yönelimleri tamamen aynıdır.
- D) İki şeklin çevre uzunlukları birbirine eşittir.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) İki şeklin yönelimleri tamamen aynıdır.
Öteleme yönelimi bozmaz ancak işlem adımlarının içinde bir adet 'yansıma' olduğu için asıl şeklin yönelimi tersine dönmüştür. Bu yüzden yönelimlerin aynı olduğu söylenemez.
4. Bir ABC üçgeni, d doğrusuna göre yansıtılarak A'B'C' üçgeni elde ediliyor. Öğrencilerin bu dönüşüm üzerine yaptığı aşağıdaki varsayımlardan hangisi doğrudur?
- A) A köşesinin d doğrusuna uzaklığı, B' köşesinin d doğrusuna uzaklığına eşittir.
- B) ABC üçgeninin alanı, A'B'C' üçgeninin alanının iki katıdır.
- C) C noktasının d doğrusuna olan uzaklığı ile C' noktasının d doğrusuna olan uzaklığı eşittir.
- D) AB kenarı, A'B' kenarından daha uzundur.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) C noktasının d doğrusuna olan uzaklığı ile C' noktasının d doğrusuna olan uzaklığı eşittir.
Yansıma dönüşümünde her bir noktanın yansıma eksenine (d doğrusuna) olan uzaklığı, o noktanın görüntüsünün eksene olan uzaklığına eşittir.
5. Aşağıda I, II ve III numaralı öncüllerde bazı dönüşüm özellikleri verilmiştir: I. Şeklin biçim ve boyutu değişmez. II. Şeklin yönelimi değişmez. III. Her noktanın dönüşüm sonrası konumu, belirli ve sabit bir uzaklık kadar değişir. Verilen özelliklerin tümünü sağlayan dönüşüm aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Sadece Yansıma
- B) Sadece Öteleme
- C) Hem Yansıma Hem Öteleme
- D) Hiçbiri
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Sadece Öteleme
Yönelimin değişmemesi yansımayı eler. Ayrıca her noktanın sabit bir mesafe kadar aynı yöne kayması (III. öncül) ötelemenin tanımıdır.