9. Sınıf Matematik · Ünite 5
Üçgenlerin Gizli Şifreleri: Eşlik ve Benzerlik
Üçgenlerin sadece açılarına bakarak eş olduklarını söyleyebilir miyiz? Eşlik ve benzerlik koşullarını günlük hayat örnekleriyle ve geometrik dönüşümlerle keşfediyoruz.
Kazanım MAT.9.5.2 · 40 dk okuma
Klonlar ve Büyüteçler: Geometrik Bir Macera
Gündelik hayatta aynı model telefonun iki farklı rengini yan yana koyduğunuzda, bu telefonların boyutları ve şekilleri tıpatıp aynıdır. Geometride bu 'tıpatıp aynılık' durumuna eşlik diyoruz. Ancak bir fotoğrafın telefondaki hali ile dev bir reklam panosundaki halini düşünün; şekil aynı kalsa da boyutlar değişmiştir. İşte şeklin korunup boyutların belli bir oranda değiştiği bu duruma da benzerlik adını veriyoruz.
Açıların Bize Söylediği Sırlar
Şimdi şu kritik soruyu düşünelim: 'Tüm açı ölçüleri karşılıklı eşit olan üçgenler kesinlikle eş midir?' Gözünüzün önüne bir eşkenar üçgen getirin. Bütün açıları 60 derecedir. Şimdi aynı açılara sahip çok daha büyük bir eşkenar üçgen çizin. Açıları aynı olmasına rağmen kenar uzunlukları farklı olduğu için bu iki üçgen eş değildir, sadece benzerdir.
İki üçgenin eş olmadığı durumda bile karşılıklı açı ölçülerinin eşit olabileceğini yukarıdaki iki üçgende görebilirsiniz. Üçgenlerin eş olması için sadece açıların değil, bu açıların karşısındaki kenarların da birebir aynı uzunlukta olması şarttır.
Geometrik Dönüşümler Bizi Nereye Götürür?
Koordinat sisteminde bir üçgeni alıp sağa sola kaydırırsanız (öteleme) veya bir eksene göre ayna görüntüsünü alırsanız (yansıma), üçgenin kenar uzunlukları ve açıları değişmez. Sadece yeri veya yönü değişir. Bu tür dönüşümler sonucunda elde edilen yeni üçgenler, başlangıçtaki üçgenle tamamen eştir.
Üçgenlerin Gizli Şifreleri: Eşlik ve Benzerlik: Alıştırma Soruları
1. Tüm açıları karşılıklı olarak eşit olan iki üçgen için aşağıdakilerden hangisi KESİNLİKLE doğrudur?
- A) Bu iki üçgen eştir.
- B) Bu iki üçgen benzerdir.
- C) Üçgenlerin alanları eşittir.
- D) Üçgenlerin çevreleri eşittir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Bu iki üçgen benzerdir.
Tüm açılarının karşılıklı eşit olması üçgenlerin benzer olduğunu gösterir. Eşlik, alan veya çevre eşitliği için kenar uzunluklarının da birebir aynı olduğu bilinmelidir.
2. Aşağıdaki günlük hayat örneklerinden hangisi 'eşlik' kavramına daha uygundur?
- A) Bir evin maketi ile evin aslı
- B) Mikroskopta büyütülmüş bir hücre görüntüsü
- C) Bir fabrikadan çıkan aynı model iki otomobil kapısı
- D) Bir ağacın sabah ve öğle saatlerindeki gölgesi
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Bir fabrikadan çıkan aynı model iki otomobil kapısı
Aynı model otomobil kapıları birebir aynı boyut ve şekle sahip oldukları için eşliğe örnektir. Diğer seçeneklerde boyutlar değiştiği için benzerlik durumu söz konusudur.
3. ABC ve DEF üçgenlerinin karşılıklı tüm açıları eşittir. Ancak |AB| uzunluğu |DE| uzunluğunun iki katıdır. Bu durumda aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
- A) ABC ve DEF üçgenleri eş değildir.
- B) İki üçgen arasındaki benzerlik oranı 2 veya 1/2'dir.
- C) DEF üçgeninin çevresi, ABC üçgeninin çevresinin yarısıdır.
- D) B ve E açılarının ölçüleri birbirinden farklıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) B ve E açılarının ölçüleri birbirinden farklıdır.
Üçgenlerin benzer olduğu ve tüm karşılıklı açıların eşit olduğu soruda belirtilmiştir. Bu nedenle karşılıklı açılar olan B ve E'nin ölçüleri kesinlikle eşittir, farklı olamaz.
4. İki üçgenin eş olduğunu kanıtlamak için aşağıdaki bilgi gruplarından hangisi YETERLİ DEĞİLDİR?
- A) İkişer kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı ölçüsü (KAK)
- B) Üçer kenar uzunluğu (KKK)
- C) İkişer açı ölçüsü ve bu açıların arasındaki kenar uzunluğu (AKA)
- D) Üçer açı ölçüsü (AAA)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Üçer açı ölçüsü (AAA)
Açı-Açı-Açı (AAA) kuralı sadece benzerliği kanıtlar. Üçgenlerin eş olduğunu kesin olarak söyleyebilmek için herhangi bir kenar eşitliği sağlamadığından eşlik için yeterli değildir.
5. Elif ve Mert, ikisi de 5 cm, 7 cm kenarlara ve bir 40 derecelik açıya sahip birer üçgen çiziyor. Ancak çizdikleri üçgenler eş çıkmıyor. Bu durumun matematiksel nedeni aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Verilen 40 derecelik açı, her iki üçgende de 5 cm ve 7 cm'lik kenarların arasında değildir.
- B) 5 cm ve 7 cm kenar uzunluklarına sahip üçgenler her zaman eştir, çizimde bir hata olmalıdır.
- C) Üçgenlerin üçüncü kenar uzunlukları zorunlu olarak eşit olmak zorundadır.
- D) İki üçgenin çevreleri eşit olsa da alanları her zaman farklıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Verilen 40 derecelik açı, her iki üçgende de 5 cm ve 7 cm'lik kenarların arasında değildir.
Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralının geçerli olması için eşit olan açının mutlaka eşit olan iki kenarın 'arasında' olması gerekir. Açı aradaki açı değilse, aynı ölçülerle eş olmayan farklı üçgenler çizilebilir.