9. Sınıf Matematik · Ünite 2
Doğrusal Referans Fonksiyonu ve Dönüşümleri: f(x)=x'in Macerası
Temel f(x)=x doğrusal fonksiyonunun anatomisini inceleyecek; onu yatay/dikey öteleyerek ve esneterek yepyeni doğrusal fonksiyonların nasıl oluşturulduğunu keşfedeceğiz.
Kazanım MAT.9.2.1 · 40 dk okuma
Doğrusal Fonksiyonların Atası: Referans Fonksiyon
Doğadaki pek çok olay sabit bir hızla değişir. Örneğin kumbaranıza her gün aynı miktarda para atarsanız, paranız doğrusal (çizgisel) bir şekilde artar. Tüm bu doğrusal ilişkilerin en saf ve temel hali 'referans fonksiyon' dediğimiz f(x) = x fonksiyonudur. Her doğrusal fonksiyon, aslında bu temel fonksiyonun biraz değiştirilmiş (dönüştürülmüş) bir versiyonudur.
Peki f(x) = x nasıl özelliklere sahiptir? Temel özelliklerine bir göz atalım:
- Tanım ve Görüntü Kümesi: Gerçek sayılar kümesidir (İçine ne girerse aynen dışarı çıkar). • Sıfırı (Kökü): Grafiğin x eksenini kestiği nokta x=0'dır. • Artanlık: x değerleri büyüdükçe y değerleri de büyür, yani daima artandır. • Bire Birlik: Her bir x değeri farklı bir y değerine eşleşir, tamamen bire birdir.
Dönüşümler: Fonksiyonun Genetiğiyle Oynamak
Şimdi bu ana fonksiyonu kullanarak yeni doğrusal fonksiyonlar (g) üreteceğiz. Bunun için elimizde harika bir formül var:
Bu formüldeki a, r ve k harfleri sıradan sayılar gibi görünse de aslında f(x)=x'e ne yapacağımızı söyleyen birer komuttur. 'k' sayısı fonksiyonu dikey eksende yukarı veya aşağı taşır (öteler). 'r' sayısı fonksiyonu yatay eksende sağa veya sola taşır. 'a' çarpanı ise doğrunun eğimini, yani ne kadar dik olacağını ayarlar.
Aşağıdaki interaktif alanda a, r ve k değerlerini değiştirerek, gri kesikli çizgi olan f(x)=x'in nasıl yeni bir mavi doğruya dönüştüğünü kendiniz deneyimleyin.
Günlük Hayattan Bir Örnek
Bir taksiye bindiğinizi düşünün. Taksametre açılış ücreti 20 TL ve kilometre başına 15 TL yazsın. f(x)=x referans fonksiyonu sadece gidilen mesafeyi temsil ederken, ödenecek toplam tutarı g(x) = 15 * f(x) + 20 şeklinde yazarız. Burada a=15 çarpanı taksimetrenin atış hızını (eğimi/esnemeyi), k=20 ise açılış ücretini (yukarı ötelemeyi) ifade eder.
Özet
Tüm doğrusal fonksiyonlar f(x)=x'in çocuklarıdır. Bu temel doğruyu a ile çarparak dikleştirip yatırabilir, r ile yatayda, k ile dikeyde kaydırarak hayal edebileceğiniz tüm doğrusal fonksiyonları çizebilirsiniz.
Doğrusal Referans Fonksiyonu ve Dönüşümleri: f(x)=x'in Macerası: Alıştırma Soruları
1. f(x) = x referans fonksiyonundan g(x) = f(x) + 4 fonksiyonu elde ediliyor. g(x) fonksiyonunun grafiği f(x)'e göre nasıl bir değişime uğramıştır?
- A) Dikey eksende 4 birim yukarı ötelenmiştir.
- B) Dikey eksende 4 birim aşağı ötelenmiştir.
- C) Yatay eksende 4 birim sağa ötelenmiştir.
- D) Yatay eksende 4 birim sola ötelenmiştir.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Dikey eksende 4 birim yukarı ötelenmiştir.
Formüldeki +4 ifadesi, 'k' değerini (dikey öteleme) temsil eder. Fonksiyonun sonucuna (y değerine) doğrudan 4 eklendiği için grafik 4 birim yukarı kayar.
2. Aşağıdakilerden hangisi doğrusal referans fonksiyonu olan f(x) = x'in nitel özelliklerinden biri DEĞİLDİR?
- A) Sıfırı (kökü) x=0 noktasıdır.
- B) Daima artan bir fonksiyondur.
- C) Bire bir bir fonksiyondur.
- D) Sadece pozitif y değerleri alır.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Sadece pozitif y değerleri alır.
f(x) = x fonksiyonunun görüntü kümesi tüm gerçek sayılardır. x yerine negatif bir sayı koyduğumuzda f(x) de negatif olur. Dolayısıyla sadece pozitif y değerleri almaz.
3. f(x) = x fonksiyonu kullanılarak g(x) = -2 * f(x) fonksiyonu oluşturuluyor. Yeni elde edilen g(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Daima artan bir fonksiyondur.
- B) Orijinden geçmeyen azalan bir fonksiyondur.
- C) Orijinden geçen ve azalan bir fonksiyondur.
- D) Yatay eksene paralel bir fonksiyondur.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Orijinden geçen ve azalan bir fonksiyondur.
g(x) = -2*x olacaktır. Başkatsayı (a) negatif (-2) olduğu için fonksiyon azalandır. Ayrıca x=0 için g(0)=0 olduğundan başlangıç noktasından (orijinden) geçer.
4. f(x) = x doğrusal referans fonksiyonunu yatayda 3 birim sağa ve dikeyde 5 birim yukarı ötelemek isteyen bir öğrenci, yeni fonksiyonu cebirsel olarak nasıl ifade etmelidir?
- A) f(x + 3) + 5
- B) f(x - 3) + 5
- C) 3 * f(x) + 5
- D) f(x - 5) + 3
Cevabı göster
Doğru cevap: B) f(x - 3) + 5
Yatayda r birim sağa öteleme işlemi f(x - r) ile gösterilir (sağa ötelemede eksi işareti kullanılır). Dikeyde k birim yukarı öteleme ise fonksiyona dışarıdan +k eklenerek yapılır. Dolayısıyla cevap f(x - 3) + 5 olmalıdır.
5. h(x) = a * f(x - r) + k fonksiyonunda r=0'dır. Bu h(x) fonksiyonunun grafiği (0, 4) ve (2, 0) noktalarından geçtiğine göre, 'a' ve 'k' değerleri sırasıyla nedir?
- A) a=2, k=4
- B) a=-2, k=4
- C) a=-2, k=-4
- D) a=4, k=-2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) a=-2, k=4
r=0 ise h(x) = a*x + k olur. (0, 4) noktasından geçtiği için x=0 koyduğumuzda h(0) = k = 4 bulunur. (2, 0) noktası için x=2 koyduğumuzda h(2) = 2a + 4 = 0 olur. Buradan 2a = -4 ve a = -2 bulunur.