Online Kolej
Kayıt Ol

9. Sınıf Matematik · Ünite 2

Hayatımızı Modellemek: Doğrusal Denklemler ve Mutlak Değer

Gerçek yaşam problemlerini doğrusal fonksiyonlarla modellemeyi, grafikleri yorumlamayı ve mutlak değerli sınırları analiz etmeyi öğreniyoruz.

Kazanım MAT.9.2.3 · 40 dk okuma

Hayatımızda sıkça seçimler yaparız: Hangi telefon tarifesi daha avantajlı? Hangi kargo şirketi daha ucuz? İki farklı aracın hızlarını karşılaştırırken nelere dikkat etmeliyiz? İşte bu gibi durumları matematiksel olarak karşılaştırmak ve en doğru kararı vermek için fonksiyonları, denklemleri ve eşitsizlikleri kullanırız.

Doğrusal Modellerle Karşılaştırma: f(x) ve g(x)

İki farklı durumu doğrusal fonksiyonlarla modelleyelim. Örneğin, A kargo şirketi gönderim için sabit 20 TL ve kilometre başına 5 TL alırken; B şirketi sabit 50 TL ve kilometre başına 2 TL alıyor olsun. Gidilecek mesafeyi x olarak kabul edersek, şirketlerin fiyatlarını şu şekilde modelleyebiliriz:

f(x)=5x+20(A S¸irketi)f(x) = 5x + 20 \quad \text{(A Şirketi)}
g(x)=2x+50(B S¸irketi)g(x) = 2x + 50 \quad \text{(B Şirketi)}

Bu iki şirketin tam olarak aynı ücreti aldığı mesafeyi bulmak için f(x) = g(x) denklemini çözeriz:

5x+20=2x+50  ⟹  3x=30  ⟹  x=105x + 20 = 2x + 50 \implies 3x = 30 \implies x = 10

Demek ki 10 kilometre uzaklıkta her iki kargo da aynı ücreti (70 TL) alıyor. Peki ya 10 kilometreden daha uzağa bir paket göndereceksek? Bu durumu analiz etmek için g(x) < f(x) eşitsizliğini çözebiliriz. x > 10 için B şirketinin daha ekonomik olduğunu görürüz.

(10 km, 70 TL)f(x) = 5x+20g(x) = 2x+50x (km)Ücret (TL)

Sınırları Belirlemek: Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Bazen bir hedeften ne kadar sapabileceğimiz önemlidir. Bu tür tolerans durumlarını mutlak değerle ifade ederiz. Diyelim ki bir seradaki ideal sıcaklık 25 derecedir ve bitkilerin zarar görmemesi için sıcaklığın en fazla 3 derece oynamasına izin vardır. Ortam sıcaklığını T(x) olarak düşünürsek, ideal sıcaklıktan farkın 3'ten küçük veya ona eşit olması gerekir:

∣T(x)−25∣≤3|T(x) - 25| \le 3

Bu ifade, sıcaklığın 22 ile 28 derece arasında olması gerektiğini matematiksel olarak garanti altına alır. Formülize edersek; k pozitif bir reel sayı olmak üzere |f(x)| < k durumu, -k < f(x) < k eşitsizliğine dönüşür.

Bir Adım İleri: Mutlak Değerin Başka Bir Fonksiyona Eşitliği |f(x)| = g(x)

Peki ya denklemimiz |2x - 4| = x + 1 biçiminde olursa ne yaparız? Burada mutlak değerin içi x + 1'e veya onun negatifine eşit olabilir. Ancak bir şartımız var: Mutlak değerin sonucu hiçbir zaman negatif olamaz! Bu yüzden bulduğumuz x değerlerinin x + 1'i negatif yapıp yapmadığını mutlaka kontrol etmeliyiz.

Durum 1: 2x−4=x+1  ⟹  x=5\text{Durum 1: } 2x - 4 = x + 1 \implies x = 5
Durum 2: 2x−4=−x−1  ⟹  3x=3  ⟹  x=1\text{Durum 2: } 2x - 4 = -x - 1 \implies 3x = 3 \implies x = 1

Şimdi kontrol edelim: x=5 için sağ taraf 5+1=6 (Pozitif, geçerli). x=1 için sağ taraf 1+1=2 (Pozitif, geçerli). Bu denklemin çözüm kümesi {1, 5} olur. Eğer bulduğumuz kök, sağ tarafı negatif yapsaydı o kökü çözüm kümesine almayacaktık.

auto_awesome

Hayatımızı Modellemek: Doğrusal Denklemler ve Mutlak Değer: Alıştırma Soruları

  1. 1. Ahmet'in kumbarasında 100 TL vardır ve her hafta 30 TL eklemektedir (f(x) = 30x + 100). Betül'ün ise kumbarasında 40 TL vardır ve her hafta 45 TL eklemektedir (g(x) = 45x + 40). Kaçıncı haftada ikisinin kumbarasındaki para miktarı eşit olur?

    • A) 2
    • B) 3
    • C) 4
    • D) 5
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 4

    İki fonksiyonu birbirine eşitleriz: 30x + 100 = 45x + 40. Buradan 15x = 60 ve x = 4 bulunur. 4. haftada paraları eşitlenir.

  2. 2. Bir laboratuvarda denenen kimyasal bir maddenin ideal reaksiyon süresi 45 saniyedir. Deneyin başarılı olması için sürenin bu ideal değerden en fazla 2 saniye sapmasına izin verilmektedir. Reaksiyon süresi t fonksiyonu ile gösterildiğine göre, bu durumu modelleyen eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) |t - 2| <= 45
    • B) |t - 45| <= 2
    • C) |t + 45| <= 2
    • D) |t| <= 47
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) |t - 45| <= 2

    İdeal süre 45 olduğu için sapma miktarı t - 45'tir. Bunun 2'den küçük veya eşit olması mutlak değer ile |t - 45| <= 2 şeklinde ifade edilir.

  3. 3. Bir araç kiralama firmasında A aracı günlük 300 TL sabit ve kilometre başına 4 TL ücretlendirme yaparken (f(x) = 4x + 300); B aracı günlük 450 TL sabit ve kilometre başına 2 TL ücretlendirme yapmaktadır (g(x) = 2x + 450). Günlük kiralamada B aracının daha avantajlı (daha ucuz) olduğu kilometreleri gösteren eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) x < 75
    • B) x > 75
    • C) x < 150
    • D) x > 150
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) x > 75

    B aracının daha ucuz olması için g(x) < f(x) olmalıdır. 2x + 450 < 4x + 300 eşitsizliğini çözersek 150 < 2x ve 75 < x elde ederiz. Yani x > 75 olmalıdır.

  4. 4. Bir şirketin aylık kâr/zarar durumu y = 2x - 10 fonksiyonu ile modellenmektedir (x ay cinsinden zaman). Şirket yetkilileri, kârın veya zararın büyüklüğünün tam olarak 8 milyon TL olduğu ayları tespit etmek istiyor. Buna göre |2x - 10| = 8 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

    • A) 8
    • B) 9
    • C) 10
    • D) 12
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 10

    |2x - 10| = 8 için iki durum vardır: 2x - 10 = 8 => 2x = 18 => x = 9. İkinci durum: 2x - 10 = -8 => 2x = 2 => x = 1. x değerlerinin toplamı 9 + 1 = 10 olur.

  5. 5. |3x - 6| = x + 4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

    • A) {1, 5}
    • B) {0.5, 5}
    • C) {5}
    • D) {-1, 5}
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) {0.5, 5}

    1. durum: 3x - 6 = x + 4 => 2x = 10 => x = 5. (Sağ taraf: 5+4=9 >= 0, geçerli). 2. durum: 3x - 6 = -x - 4 => 4x = 2 => x = 0.5. (Sağ taraf: 0.5+4=4.5 >= 0, geçerli). Çözüm kümesi {0.5, 5}.

1 soru daha seni bekliyor

Ücretsiz kaydol; Hayatımızı Modellemek: Doğrusal Denklemler ve Mutlak Değer testini puanlı çöz, XP kazan ve takıldığın yeri yapay zeka öğretmenine sor.

Ücretsiz Kaydol