9. Sınıf Matematik · Ünite 7
Olasılığın Gizemli Dünyası: Deneyler ve Çoklu Olaylar
Zarların ve çarkların renkli dünyasına adım atarak, matematiksel deneyleri, eş olasılıklı çıktıları ve olayları keşfediyoruz.
Kazanım MAT.9.7.1 · 40 dk okuma
Merhaba sevgili gençler! Hayatımız aslında bir olasılıklar okyanusudur. Yağmurun yağma ihtimalinden, oynadığımız bir kutu oyununda zarı attığımızda kaç geleceğine kadar pek çok şeyi tahmin etmeye çalışırız. Peki, matematikte bu tahminleri nasıl sistemli ve bilimsel bir hale getiririz? Gelin, olasılığın temel taşları olan deney ve olay kavramlarını birlikte keşfedelim.
Deney, Çıktı ve Olay Nedir?
Bir sonucun ne olacağını görmek, veriler toplamak için yaptığımız gözlem veya işleme 'deney' diyoruz. Bu deneyin sonucunda elde edebileceğimiz her bir duruma 'çıktı', bu çıktılar arasından gözlemlemek istediğimiz özel durumlara ise 'olay' adını veriyoruz.
Tek Bir Olaydan Daha Fazlası: Çoklu Olaylar
Deneylerimiz her zaman tek bir eylemden oluşmaz; bazen birden fazla olayı aynı anda inceleyebiliriz. Örneğin, havaya sadece bir zar atmak tek bir olaya dayalı deneyken, iki zarı aynı anda atıp üst yüze gelen sayıların toplamını bulmak çoklu bir yapıdır. Bu seviyede en fazla üç olaylı deneyleri (örneğin iki zar ve bir madeni paranın aynı anda atılması gibi) inceleyeceğiz.
Hadi sınıfça bir deney tasarlayalım: Hilesiz iki zarı aynı anda atıyoruz ve üst yüze gelen sayıları topluyoruz. Zarların her birinde 1'den 6'ya kadar sayılar var. Tüm olası çıktıların kümesine (örnek uzaya) S diyelim:
İki zarı attığımızda toplam 36 farklı eş olasılıklı çıktı elde ederiz. Fakat bizim ilgilendiğimiz olay 'zarların toplamının 7 olması' olsun. Bu olaya uyan çıktılar şunlardır:
Eş Olasılıklı Çıktılar ve Çark Deneyi
Yukarıdaki gibi 4 eş parçaya ayrılmış bir çarkı çevirmek de harika ve gözlemlemesi kolay bir deneydir. Okun herhangi bir renkte durma olasılıkları eşittir. Çünkü her bir dilimin merkez açısı ve alanı aynıdır. Bu duruma 'eş olasılıklı çıktılar' diyoruz.
Deneme Sayısı (n) Neden Önemli?
Bir madeni parayı 10 kere attığınızda 8 kere tura gelebilir. Fakat bu, tura gelme ihtimalinin %80 olduğu anlamına gelmez. Atış sayısını (deneme sayısını, yani 'n' değerini) 1000'e çıkarırsanız, tura gelme sayısının yarı yarıya (500'e) çok daha yakın olduğunu görürsünüz. Deneme sayısını ne kadar artırırsak, deneyden elde ettiğimiz sonuçlar teorik gerçekliğe o kadar yaklaşır.
Olasılığın Gizemli Dünyası: Deneyler ve Çoklu Olaylar: Alıştırma Soruları
1. Matematikte olasılık hesaplamaları için veri toplamak amacıyla yapılan her türlü gözlem ve eyleme ne ad verilir?
- A) Olay
- B) Deney
- C) Çıktı
- D) Örnek Uzay
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Deney
Bir sonucun ne olacağını görmek için yapılan eylem veya gözleme 'deney' denir.
2. Hilesiz bir zarı havaya atma deneyinde, zardaki her bir sayının (1, 2, 3, 4, 5, 6) üst yüze gelme şansı eşittir. Bu duruma olasılıkta hangi ad verilir?
- A) Kesin Olay
- B) İmkansız Olay
- C) Eş Olasılıklı Çıktılar
- D) Deneme Sayısı
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Eş Olasılıklı Çıktılar
Bir deneydeki tüm çıktıların gerçekleşme ihtimali aynıysa, bu duruma 'eş olasılıklı çıktılar' denir.
3. İki hilesiz zarın aynı anda havaya atılması deneyinde zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 10 olması isteniyor. Bu olayla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) Bu deney tek olaylı bir deneydir.
- B) Toplamın 10 olmasını sağlayan yalnızca 2 farklı çıktı vardır.
- C) Bu olaydaki olası çıktılardan biri (5, 5)'tir.
- D) Tüm olası çıktıların sayısı 12'dir.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Bu olaydaki olası çıktılardan biri (5, 5)'tir.
İki zar atılması çok olaylı bir deneydir. Tüm olası çıktılar 36 tanedir. Toplamın 10 olduğu çıktılar (4,6), (5,5) ve (6,4)'tür; yani 3 tanedir. Şıklarda yer alan (5, 5) ifadesi bu olaydaki çıktılardan biri olduğu için doğru cevaptır.
4. Bir çark çevirme deneyinde 4 farklı eş renk dilimi (Sarı, Kırmızı, Mavi, Yeşil) vardır. Sınıftaki öğrenciler çarkı 20 kez çevirip sonuçları kaydediyor. Deneme sayısı (n) 2000'e çıkarılırsa aşağıdakilerden hangisinin gerçekleşmesi beklenir?
- A) Sadece Mavi rengin gelme sayısı artar.
- B) Renklerin gelme sayıları birbirine çok daha yakın hale gelir.
- C) Kırmızı gelme ihtimali imkansız olaya dönüşür.
- D) Deneyin eş olasılıklı yapısı tamamen bozulur.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Renklerin gelme sayıları birbirine çok daha yakın hale gelir.
Bir deneyde deneme sayısı (n) arttıkça, deneysel olasılık sonuçları teorik olasılığa daha fazla yaklaşır. Çark eş dilimlere ayrıldığı için, deneme sayısı arttıkça her rengin gelme sayıları birbirine eşitlenmeye başlar.
5. Bir kutuda aynı büyüklükte 3 kırmızı, 2 mavi top vardır. Bu kutudan art arda, çekilen top geri bırakılmadan 2 top çekilmesi deneyi tasarlanıyor. Bu deney incelendiğinde aşağıdaki yorumlardan hangisi kesinlikle yanlıştır?
- A) Çekilen topların ikisinin de kırmızı gelmesi incelediğimiz bir 'olay' olabilir.
- B) Her top çekilişinde kutudaki durum değiştiği için başlangıçtaki eş olasılıklı yapı değişir.
- C) Bu deney en çok iki olaylı bir deney yapısına örnektir.
- D) İlk çekilen topun rengi, ikinci topun çekilme deneyinin örnek uzayını etkilemez.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) İlk çekilen topun rengi, ikinci topun çekilme deneyinin örnek uzayını etkilemez.
Top çekildikten sonra geri bırakılmadığı için, ilk çekilen top kutudaki toplam top sayısını ve renklerin oranını değiştirir. Bu nedenle ilk eylem, ikinci çekilişin olası çıktılarını (örnek uzayını) doğrudan etkiler.