9. Sınıf Matematik · Ünite 7
Şansın Matematiği: Teorik ve Deneysel Olasılık Keşfi
Olasılık hesaplamalarında tüm olası durumları ağaç şeması ve tablolarla göstermeyi öğrenin. Ayrıca deney sayısının artmasının deneysel olasılığı teorik olasılığa nasıl yaklaştırdığını keşfedin.
Kazanım MAT.9.7.2 · 40 dk okuma
Hayatta bazı olayların sonuçlarını kesin olarak bilemeyiz, ancak 'ne kadar olası' olduklarını tahmin edebiliriz. Bir futbol maçında para atışını düşünün. Yazı mı yoksa tura mı geleceğini kimse kesin bilemez, ancak ikisinin de gelme ihtimalinin eşit olduğunu biliriz. İşte bu, şansın matematiği olan olasılık bilimidir!
Tüm İhtimalleri Görmek: Örnek Uzayı Haritalandırmak
Bir olayın teorik olasılığını hesaplamak için öncelikle 'neler olabileceğini' tam olarak bilmeliyiz. Karşımıza çıkabilecek tüm sonuçların oluşturduğu kümeye 'Örnek Uzay' diyoruz. Örnek uzayı eksiksiz belirlemek için sistematik listeler, tablolar ve ağaç şemaları kullanırız.
Örneğin, bir madenî para ve bir zarı aynı anda havaya attığımızı düşünelim. Acaba kaç farklı sonuçla karşılaşabiliriz? Bu ihtimalleri görmek için 3 farklı yöntem kullanabiliriz:
1. Ağaç Şeması: Önce paranın Yazı (Y) veya Tura (T) gelme durumunu iki dal olarak çizeriz. Sonra her bir dalın ucuna zarın 1'den 6'ya kadar olan durumlarını ekleyerek tüm ihtimalleri uç noktalarda görürüz.
2. Sistematik Liste: Hiçbir ihtimali atlamamak için sırayla yazarız: (Y,1), (Y,2), (Y,3), (Y,4), (Y,5), (Y,6) ve ardından (T,1), (T,2), (T,3), (T,4), (T,5), (T,6).
3. Tablo Yöntemi: Satırlara paranın durumlarını, sütunlara zarın durumlarını yazarak bir matris oluştururuz. Aşağıdaki tabloda bu durumu inceleyebilirsiniz.
Matematiksel İlişki: Teorik Olasılığa Ulaşmak
Örnek uzayı belirledikten sonra, ilgilendiğimiz özel duruma (yani olaya) odaklanırız. Bir A olayının teorik olasılığı matematiksel olarak şu temel ilişkiyle hesaplanır:
Yukarıdaki para-zar deneyinde 'Paranın Tura ve Zarın çift sayı gelmesi' olayını ele alalım. Tabloya baktığımızda tüm olası durumların 12 tane olduğunu görüyoruz. İstenen durumlar ise (T,2), (T,4) ve (T,6) olmak üzere 3 tanedir. Bu durumda teorik olasılığı hesaplayalım:
Teorik Beklenti ve Gerçek Hayat: Deneysel Olasılık
Bir zarı havaya attığınızda '3' gelme olasılığı teorik olarak 1/6'dır. Ancak zarı gerçekten 6 defa attığınızda tam olarak 1 defa '3' gelmeyebilir. Hatta hiç gelmeyebilir! Bizzat deney yaparak, sonuçları sayarak elde ettiğimiz olasılığa 'deneysel olasılık' deriz. Deneysel olasılık her denemede farklı sonuçlar verebilir.
Peki, zarı 6 defa değil de 600 defa, hatta 60.000 defa atarsak ne olur? İşte burası matematiğin büyülü kısmıdır. 'Büyük Sayılar Kanunu' adını verdiğimiz ilkeye göre, bir deneyin yapılma sayısı arttıkça, o deneyden elde edilen deneysel olasılık değeri, teorik olasılık değerine giderek yaklaşır.
Şansın Matematiği: Teorik ve Deneysel Olasılık Keşfi: Alıştırma Soruları
1. Bir restoranda 3 farklı çeşit çorba ve 4 farklı çeşit ana yemek vardır. Bir çorba ve bir ana yemek seçecek olan bir kişinin tüm olası menü seçeneklerini göstermek için ağaç şeması çizildiğinde, şemanın en uç kısmında toplam kaç dal (sonuç) bulunur?
- A) 3
- B) 4
- C) 7
- D) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 12
3 çorba ve her bir çorba için 4 ana yemek seçeneği vardır. Ağaç şemasında her bir çorba dalından 4'er ana yemek dalı çıkar. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre 3 x 4 = 12 farklı olası durum oluşur.
2. Bir madenî parayı 20 kez havaya atan Ayşe, 14 kez Tura, 6 kez Yazı geldiğini not ediyor. Ayşe'nin yaptığı bu deneyin sonucuna göre paranın Yazı gelmesinin deneysel olasılığı kaçtır?
- A) 3/10
- B) 1/2
- C) 7/10
- D) 6/14
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 3/10
Deneysel olasılık formülü 'Gerçekleşen durum sayısı / Toplam deney sayısı' şeklindedir. Yazı gelme sayısı 6, toplam deney sayısı 20'dir. Deneysel olasılık 6/20 sadeleştirilirse 3/10 bulunur.
3. Hilesiz iki zar aynı anda havaya atılıyor. Zarların üst yüzeyine gelen sayıların toplamının 8 olduğu durumların olasılığını teorik olarak hesaplamak isteyen bir öğrenci tüm durumları listelemek için sistematik liste yöntemini kullanıyor. Aşağıdaki ikililerden hangisi bu öğrencinin oluşturduğu örnek uzayda GİRMEZ?
- A) (2, 6)
- B) (3, 5)
- C) (4, 4)
- D) (1, 7)
Cevabı göster
Doğru cevap: D) (1, 7)
Zarların üzerinde sadece 1'den 6'ya kadar olan rakamlar bulunur. Toplamları 8 eden ikililer (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) ve (6,2)'dir. Zarın üzerinde 7 olmadığı için (1,7) durumu örnek uzayda fiziksel ve teorik olarak yer alamaz.
4. Bir torbada renkleri dışında özdeş kırmızı, mavi ve yeşil bilyeler bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele bir bilye çekme deneyi 500 kez tekrarlanıyor (çekilen bilye torbaya geri konularak). Deney sonucunda 255 kez kırmızı, 140 kez mavi ve 105 kez yeşil bilye çekildiği görülüyor. Bu bilgilere dayanarak, tümevarımsal bir akıl yürütmeyle torbadaki bilyelerin dağılımı hakkında yapılan aşağıdaki yorumlardan hangisi en güvenilirdir?
- A) Kırmızı bilyelerin teorik olasılığı yaklaşık 1/2'dir.
- B) Torbadaki mavi bilye sayısı kesinlikle yeşil bilye sayısına eşittir.
- C) Deney sayısı artırılırsa yeşil bilye gelme olasılığı sıfıra yaklaşır.
- D) Torbadaki her rengin teorik olasılığı 1/3'tür.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Kırmızı bilyelerin teorik olasılığı yaklaşık 1/2'dir.
Büyük sayılar kanununa göre, deney sayısı fazla olduğunda deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır. 500 denemede yaklaşık 250 kez kırmızı çıkması (255/500 yaklaşık olarak 1/2), kırmızı bilyelerin torbanın yarısını oluşturduğunu (teorik olasılığının yaklaşık 1/2 olduğunu) güçlü bir şekilde gösterir.
5. Bir bilgisayar programı, 1'den 10'a kadar (1 ve 10 dahil) olan tam sayılar içinden rastgele bir sayı seçiyor. Program bu işlemi 50 kez yaptığında 'Asal Sayı' gelmesinin deneysel olasılığını %30 olarak hesaplıyor. Buna göre, bu deneyde asal sayı gelmesinin deneysel olasılığı ile teorik olasılığı arasındaki farkın mutlak değeri kaçtır?
- A) 0.1
- B) 0.2
- C) 0.3
- D) 0.4
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 0.1
1 ile 10 arasındaki asal sayılar 2, 3, 5, 7 olup toplam 4 adettir. Tüm durumlar ise 10 adettir. Teorik olasılık = 4/10 = 0.40 (%40) olarak hesaplanır. Deneysel olasılık soruda %30 (0.30) olarak verilmiştir. Aralarındaki fark 0.40 - 0.30 = 0.10'dur (Yani 0.1).