Öklid teoremlerinden biri olan 'h² = p · k' bağıntısını ispatlamak isteyen bir öğrenci, dik üçgenin dik köşesinden hipotenüse bir dikme indirerek üçgenin içinde üç farklı dik üçgen oluşturur. Bu öğrenci ispatını tamamlamak için hangi üçgenlerin benzerliğini BİZZAT kullanmalıdır?

Dikmenin ayırdığı sağ ve sol iki küçük dik üçgenin benzerliğini

Büyük dik üçgen ile sol küçük dik üçgenin benzerliğini

Sadece büyük dik üçgenin kenar uzunluklarını

Herhangi iki ikizkenar üçgenin eşliğini

Öklid'in dik kenar bağıntılarını (c² = p · a ve b² = k · a) kullanarak Pisagor teoremini (a² = b² + c²) ispatlamak isteyen bir kişi, bir sonraki cebirsel adım olarak aşağıdakilerden hangisini yapmalıdır? (Not: a = p + k)

Denklemleri taraf tarafa toplayıp 'a' ortak parantezine almalıdır.

Denklemleri taraf tarafa çarpmalıdır.

Birinci denklemi ikinci denkleme oranlamalıdır.

Denklemleri birbirinden çıkarmalıdır.

9. Sınıf Matematik · Ünite 5

Üçgenlerin Gizli Şifreleri: Tales, Öklid ve Pisagor'un İspatı

Üçgenlerde benzerlik yardımıyla Tales ve Öklid teoremlerini keşfedecek, bu ilişkileri kullanarak efsanevi Pisagor teoremini kendimiz ispatlayacağız.

Kazanım MAT.9.5.4 · 45 dk okuma

Üçgenlerin Gizli Şifreleri: Benzerliğin Gücü

Bugüne kadar geometri derslerinde birçok formül gördünüz. Peki bu formüllerin gökten inmediğini, hepsinin birbiriyle bağlantılı zincirleme bir mantık eseri olduğunu biliyor muydunuz? Bugün matematiğin dedektifleri olacak ve üçgenlerin içindeki gizli şifreleri çözeceğiz. Hazırsanız Tales, Öklid ve Pisagor'un yüzyıllar önce bulduğu gerçekleri, 'benzerlik' büyüteciyle biz de kendi başımıza ispatlayalım!

Bir Üçgenin İçine Paralel Çizmek: Tales Teoremi

Elinizde bir üçgen var. Bu üçgenin tabanına paralel olacak şekilde, üçgenin içinden bir doğru parçası çizdiğinizi hayal edin. Ne oldu? Büyük üçgenin içinde, onunla birebir aynı açılara sahip minyatür bir üçgen daha oluştu! Paralel doğrular sayesinde yöndeş açılar birbirine eşittir. Bu A.A.A. (Açı-Açı-Açı) benzerliğinden başka bir şey değildir.

Yukarıdaki şekilde DE doğrusu BC tabanına paraleldir. Bu paralellik sayesinde ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Bu benzerlikten doğan oranlara Tales Teoremi diyoruz:

\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|}

Dik Üçgende Zirveden İnen Dikme: Öklid Teoremi

Şimdi işleri biraz daha ilginçleştirelim. Bir dik üçgen düşünün. Dik açının olduğu köşeden (zirveden), tam karşısındaki hipotenüse bir dikme (yükseklik) indiriyoruz. Bu tek çizgi, o büyük üçgeni iki küçük dik üçgene ayırır. Harika olan şudur: Bu 3 üçgenin (2 küçük ve 1 büyük) üçü de birbirine benzerdir!

Neden mi benzerler? Açılara isim verelim: B açısı 'alfa' (α) ve C açısı 'beta' (β) olsun. Büyük üçgen dik olduğu için α + β = 90°'dir. Dikmenin ayırdığı sol üçgende, bir açı 90°, diğeri α ise, tepeye β kalır. Sağ üçgende ise tepeye α kalır. İki küçük üçgen de α-β-90 açılarına sahip oldu mu? Kesinlikle! O halde bu iki küçük üçgen (AHB ve CHA) benzerdir. Benzerlik oranını yazarsak Öklid'in meşhur yüksekik teoremini buluruz:

\frac{|AH|}{|HC|} = \frac{|BH|}{|AH|} \implies h^2 = p \cdot k

Benzerlikten Gelen Büyük Final: Pisagor'un İspatı

Ortaokuldan beri ezbere kullandığınız meşhur 'a² = b² + c²' (Pisagor Teoremi) var ya... Bugün onu lise seviyesinde, hem de az önce bulduğumuz Öklid teoremiyle kendimiz ispatlayacağız! Dik kenarlar olan c ve b'nin uzunluklarını, küçük üçgenlerle büyük üçgenin benzerliğinden bulabiliriz. Nasıl mı?

Sol küçük üçgen ile büyük üçgenin benzerliğinden: Dik kenar c'nin karesi, kendi tarafındaki parça (p) ile tamamının (a) çarpımına eşittir. Sağ küçük üçgen ile büyük üçgenin benzerliğinden ise: Dik kenar b'nin karesi, kendi tarafındaki parça (k) ile tamamının (a) çarpımına eşittir.

c^2 = p \cdot a \quad \text{ve} \quad b^2 = k \cdot a

Şimdi bu iki muhteşem denklemi taraf tarafa toplayalım:

c^2 + b^2 = p \cdot a + k \cdot a

Eşitliğin sağ tarafını 'a' ortak parantezine alırsak:

c^2 + b^2 = a \cdot (p + k)

Peki (p + k) zaten hipotenüsün tamamı olan 'a' değil miydi? Yerine yazalım:

c^2 + b^2 = a \cdot a \implies c^2 + b^2 = a^2

auto_awesome