9. Sınıf Matematik · Ünite 5
Üçgenlerin Benzerini Üretmek: Geometrik Çizimler
Bir üçgene benzer yeni üçgenleri nasıl çizebileceğimizi keşfediyoruz. Paralel doğrular, orantılı kenarlar ve açıları koruyarak şekilleri büyütüp küçültmenin mantığını kavrayacağız.
Kazanım MAT.9.5.3 · 40 dk okuma
Klonlama Sanatı: Bir Şekli Nasıl Büyütürüz?
Telefonunuzda bir fotoğrafa yakınlaştırma (zoom) yaptığınızı düşünün. Görüntü büyür ama içindeki kişilerin veya nesnelerin şekli bozulmaz, sadece ekranda kapladıkları alan artar. İşte geometride şeklini bozmadan boyutunu değiştirdiğimiz figürlere 'benzer' figürler diyoruz. Peki, elimizde bir üçgen varken, ona 'benzer' yepyeni bir üçgeni kâğıt üzerinde nasıl çizebiliriz?
Paralel Doğruların Gücü
Bir üçgenin içine veya dışına ona benzer bir üçgen çizmenin en garantili yolu, kenarlardan birine 'paralel' bir doğru çizmektir. Aşağıdaki şekli inceleyelim:
Yukarıda büyük bir ABC üçgeni var. BC tabanına paralel olacak şekilde, üçgenin içinden kırmızı kesikli bir DE doğrusu çizdik. Bu basit çizim sayesinde içeride yepyeni bir ADE üçgeni oluşturduk.
Neden benzer oldular? Çünkü DE doğrusu BC'ye paralel olduğu için 'Yöndeş Açılar' kuralı gereği D açısı B açısına, E açısı da C açısına eşit oldu. A açısı ise zaten her iki üçgenin de ortak tepe açısıdır. Açı-Açı (A.A.) benzerliği sayesinde bu iki üçgen artık birbirine benzerdir.
Etkileşimli Keşif: Çizgiyi Kaydır!
Aşağıdaki alanda D noktasını farenizle (veya parmağınızla) aşağı yukarı sürükleyin. Mavi alanın her zaman büyük üçgenle aynı 'şekle' sahip olduğunu, sadece küçülüp büyüdüğünü fark edeceksiniz. (Bu bir sanal çizim deneyimidir.)
Başka Nasıl Çizebiliriz? (K.A.K. Benzerliği ile)
Sadece paralel çizmek zorunda değiliz. Elimizde bir cetvel varsa şu yöntemi de izleyebiliriz: A köşesini merkez alıp, AB kenarını uzatarak B'nin iki katı uzağına bir B' noktası işaretleriz. Aynı şekilde AC kenarını uzatarak C'nin iki katı uzağına bir C' noktası işaretleriz. B' ve C' noktalarını birleştirdiğimizde, Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) eşliğine/benzerliğine dayanarak tam 2 katı büyüklüğünde yepyeni bir benzer üçgen çizmiş oluruz.
Bu durumda çizdiğimiz B'C' doğrusunun kendiliğinden BC doğrusuna paralel olduğunu fark etmek, matematiksel akıl yürütmenin en güzel kısımlarından biridir.
Özet
- Bir üçgene benzer yeni bir üçgen çizmenin en kolay yolu, kenarlardan birine paralel doğru çizmektir.
- Paralellik, 'Açı-Açı' benzerliğini garantiler.
- Kenar uzunluklarını belirli bir oranda (örneğin 3 katına) uzatıp uçları birleştirmek de 'Kenar-Açı-Kenar' benzerliğini kullanarak benzer üçgenler inşa etmemizi sağlar.
Üçgenlerin Benzerini Üretmek: Geometrik Çizimler: Alıştırma Soruları
1. Bir kâğıda çizilmiş ABC üçgenine benzer, ancak ondan daha küçük bir üçgen çizmek isteyen Elif, üçgenin içine aşağıdaki işlemlerden hangisini yaparsa amacına kesinlikle ulaşır?
- A) A açısından karşı kenara bir dikme indirmek.
- B) BC kenarına paralel olacak şekilde, üçgenin içinden geçen bir doğru çizmek.
- C) AB kenarının tam ortasını işaretleyip karşı köşeye (C'ye) birleştirmek.
- D) B açısının açıortayını çizmek.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) BC kenarına paralel olacak şekilde, üçgenin içinden geçen bir doğru çizmek.
Bir üçgenin kenarlarından birine çizilen paralel bir doğru, o üçgenin içinde açılara müdahale etmediği için (yöndeş açılar) 'Açı-Açı' kuralına göre benzer ve daha küçük bir üçgen oluşturur.
2. Bir üçgenin tüm kenar uzunlukları sırasıyla 2 katına çıkarılarak yeni bir üçgen çiziliyor. Bu çizim sonucunda oluşan yeni üçgen ile ilk üçgen arasındaki benzerlik oranı nedir?
- A) 1/4
- B) 1/2
- C) 2
- D) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 2
Kenar uzunlukları 2 katına çıktığı için, Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) benzerliği gereği büyük üçgen ile küçük üçgenin benzerlik oranı (k) 2 olur.
3. Bir DEF üçgeninde D köşesinden başlanarak DE ve DF kenarları dışarıya doğru uzatılıyor. DE üzerinde D'ye 4 birim, E'ye 8 birim uzaklıkta bir E' noktası; DF üzerinde ise D'ye 5 birim uzaklıkta bir F' noktası alınıyor. E'F' doğrusu EF doğrusuna paralel olduğuna göre, D köşesi ile F' arasındaki mesafe kaç birim uzatılmıştır (|FF'| kaçtır)?
- A) 8
- B) 10
- C) 12
- D) 15
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 10
Paralellikten dolayı üçgenler benzerdir (ADE ~ AE'F' mantığıyla D noktası tepe kabul ediliyor). Oran yazılırsa: |DE|/|DE'| = |DF|/|DF'|. |DE|=4, |DE'|=4+8=12. Oran 4/12 = 1/3. |DF|=5 olduğuna göre, |DF'| = 15 olmalıdır. |FF'| ise 15 - 5 = 10 birim bulunur.
4. Zeynep, bir KLM üçgenine benzer yeni bir üçgen çizmek istiyor. Önce bir pergel yardımıyla K açısını ölçüp kâğıdına çiziyor. Daha sonra KL kenarının uzunluğunun 3'te 1'i kadar bir uzunluğu K'dan başlayarak işaretliyor. KM kenarı için de aynı oranı uyguluyor ve bulduğu noktaları birleştiriyor. Zeynep bu çizimi yaparken benzerliğin hangi koşulundan faydalanmıştır?
- A) Açı-Açı (A.A.)
- B) Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.)
- C) Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.)
- D) Hipotenüs-Dik Kenar
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.)
Zeynep bir açıyı (K açısını) sabit tutmuş ve bu açıyı oluşturan iki kenarı aynı oranda (1/3 oranında) çizmiştir. Ortadaki açı ve yanlarındaki orantılı kenarlar kullanıldığı için bu Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) kuralıdır.
5. Bir ABC üçgenine benzer ve tepe noktası A olan "ters dönmüş" (kum saati veya papyon görünümünde) bir üçgen çizmek istiyorsunuz. Geometrik çizim olarak aşağıdakilerden hangisini yapmalısınız?
- A) B ve C açılarının açıortaylarını çizerek A'dan geçen paralel bir çizgi ile kesiştirmek.
- B) AB ve AC kenarlarını A noktası yönünde zıt tarafa doğru uzatıp, uzantıları kesecek ve BC'ye paralel olacak bir doğru çizmek.
- C) BC kenarının orta dikmesini bulup A noktası ile birleştirmek.
- D) A noktasından BC kenarına bir dikme (yükseklik) indirip ters yöne uzatmak.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) AB ve AC kenarlarını A noktası yönünde zıt tarafa doğru uzatıp, uzantıları kesecek ve BC'ye paralel olacak bir doğru çizmek.
Kenarları A noktasından yukarıya doğru zıt yönde uzatıp, BC'ye paralel bir doğru çizdiğinizde, iç ters açılar ve ters açılar kuralı gereği (Açı-Açı benzerliği) papyon şekline benzeyen yeni bir benzer üçgen elde edersiniz.