10. Sınıf Matematik · Ünite 5
Analitik Düzlemde Doğruların Gizemli Dansı: Eğim ve Konumlar
Dik koordinat sistemini kullanarak doğruların eğimini, eğim açısını ve birbirlerine göre konumlarını inceleyeceğiz. Doğruların analitik dünyasını keşfetmeye hazır olun!
Kazanım MAT.10.5.2 · 40 dk okuma
Yönümüzü Nasıl Buluruz?
Dağcıların tırmandığı dik yamaçları, uçakların rotalarını veya bir tekerlekli sandalye rampasının nasıl tasarlandığını hiç düşündünüz mü? Günlük hayatta yön ve eğim kavramları aslında analitik geometrinin temel taşlarıdır. Koordinat sistemi, bu kavramları sayılara ve denklemlere dökerek karmaşık problemleri çözmemizi sağlar. Noktalar arasındaki uzaklıkları bulmak veya bir doğru parçasını belirli bir oranda bölmek gibi önemli araçların yanı sıra, doğruların eğimlerini de bu sistemle keşfederiz.
Eğim Açısı ve Eğim Nedir?
Analitik düzlemde bir doğrunun x ekseniyle pozitif yönde (saat yönünün tersi) yaptığı açıya 'eğim açısı' diyoruz. Bu açının tanjant değeri ise bize o doğrunun 'eğimini' verir. Eğimi matematikte genellikle 'm' harfi ile gösteririz.
Eğer elimizde doğrunun geçtiği herhangi iki nokta varsa (A(x1, y1) ve B(x2, y2)), doğrunun eğimini bulmak için y değerleri farkını x değerleri farkına böleriz:
Doğruların Birbirine Göre Konumları
İki farklı doğrunun düzlemde birbirine göre farklı konumları olabilir. İki doğrunun birbirine paralel mi yoksa dik mi olduğunu sadece eğimlerine bakarak anlayabiliriz.
- Paralel Doğrular: Hiçbir zaman kesişmezler. Eğim açıları aynı olduğu için eğimleri de birbirine eşittir (m1 = m2).
- Dik Kesişen Doğrular: Aralarındaki açı 90 derecedir. Eğimleri çarpımı her zaman -1'dir (m1 * m2 = -1). (Eksenlere paralel olan özel doğrular hariç).
Analitik Düzlemde Doğruların Gizemli Dansı: Eğim ve Konumlar: Alıştırma Soruları
1. x ekseniyle pozitif yönde 135 derecelik açı yapan bir doğrunun eğimi kaçtır?
- A) -1
- B) 0
- C) 1
- D) Tanımsız
Cevabı göster
Doğru cevap: A) -1
Doğrunun eğimi, eğim açısının tanjantına eşittir. Eğim açısı 135 derece olduğuna göre eğim m = tan(135) = -1 olur.
2. Analitik düzlemde A(2, 4) ve B(5, 10) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 4
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü m = (y2 - y1) / (x2 - x1) ile bulunur. m = (10 - 4) / (5 - 2) = 6 / 3 = 2 olarak hesaplanır.
3. y = (a - 2)x + 5 doğrusu ile y = 3x - 1 doğrusu birbirine paralel olduğuna göre 'a' kaçtır?
- A) 1
- B) 3
- C) 5
- D) 7
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 5
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Birinci doğrunun eğimi x'in katsayısı olan (a - 2), ikinci doğrunun eğimi ise 3'tür. Buradan a - 2 = 3 denklemi çözüldüğünde a = 5 bulunur.
4. 2x - 3y + 4 = 0 doğrusuna dik olan ve (1, -2) noktasından geçen doğrunun eğimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 3/2
- B) -3/2
- C) 2/3
- D) -2/3
Cevabı göster
Doğru cevap: B) -3/2
Verilen doğrunun eğimi x'in katsayısının ters işaretlisinin y'nin katsayısına bölümüyle (-2 / -3 = 2/3) bulunur. Aradığımız doğru bu doğruya dik olduğu için eğimleri çarpımı -1 olmalıdır. (2/3) * m2 = -1 eşitliğinden m2 = -3/2 çıkar. (Nokta bilgisi soruda sadece çeldirici olarak kullanılmıştır).
5. Analitik düzlemde d1: 3x - 4y + 10 = 0 doğrusu ile d2 doğrusu A noktasında dik kesişmektedir. A noktası d1 doğrusu üzerinde yer almakta ve apsisi 2'dir. Buna göre d2 doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 4x - 3y + 20 = 0
- B) 4x + 3y - 20 = 0
- C) 3x + 4y - 20 = 0
- D) 4x + 3y - 10 = 0
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 4x + 3y - 20 = 0
Öncelikle A noktasının ordinatını bulalım. x = 2'yi denklemde yerine yazarsak 3(2) - 4y + 10 = 0 => 4y = 16 => y = 4 bulunur. Yani A(2, 4) noktasıdır. d1 doğrusunun eğimi m1 = 3/4'tür. Doğrular dik kesiştiğine göre d2'nin eğimi m2 = -4/3 olmalıdır. Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denkleminden: y - 4 = (-4/3)*(x - 2) => 3y - 12 = -4x + 8 => 4x + 3y - 20 = 0 elde edilir.