Online Kolej
Kayıt Ol

10. Sınıf Matematik · Ünite 5

Analitik Geometriye Giriş ve İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Ömer Hayyam, Descartes ve Fermat'nın katkılarıyla şekillenen analitik geometri dünyasına adım atıyoruz. Sayı doğrusundan koordinat sistemine iki nokta arasındaki uzaklığı grup çalışmaları ve varsayımlarla keşfedeceksiniz.

Kazanım MAT.10.5.1 · 40 dk okuma

Analitik Geometrinin Doğuşu

Matematik tarihinde cebir ve geometrinin bambaşka alanlar olarak görüldüğü zamanları hayal edin. Cebir, harfler ve denklemlerle ilgilenirken; geometri, şekiller ve açılarla ilgileniyordu. Bu iki farklı dünyayı bir araya getiren ilk düşünürlerden biri Ömer Hayyam'dır. Hayyam, cebirsel denklemleri geometrik çizimler yardımıyla çözerek bu büyük birleşmenin ilk tohumlarını atmıştır.

17. yüzyıla gelindiğinde ise René Descartes (Dekart) ve Pierre de Fermat, bugün 'Analitik Geometri' olarak adlandırdığımız alanın temellerini attılar. Özellikle Descartes'ın kendi adıyla anılan 'Kartezyen Koordinat Sistemi', geometrik şekilleri cebirsel sayılara, sayıları ise görsel şekillere dönüştürerek matematikte gerçek bir devrim yaratmıştır.

Sayı Doğrusu Üzerinde Uzaklık

Analitik düzleme geçmeden önce bildiğimiz bir noktadan yola çıkalım: Sayı doğrusu. Sayı doğrusu üzerinde yer alan herhangi iki noktanın birbirine olan uzaklığını bulmak oldukça basittir. Uç noktaların konumları arasındaki farkın mutlak değeri, bize o mesafeyi verir.

∣AB∣=∣x2−x1∣|AB| = |x_2 - x_1|

Bir Varsayım Oluşturalım: Koordinat Sisteminde Uzaklık

Sınıf arkadaşlarınızla küçük gruplar oluşturun ve şu soruyu tartışın: Sayı doğrusundaki uzaklık mantığını kullanarak, iki boyutlu koordinat düzlemindeki eğik bir çizginin (doğru parçasının) uzunluğunu nasıl bulabiliriz? Farklı fikirleri dinlemek ve başkalarının bakış açısına empatiyle yaklaşmak, bu tarz yeni problemleri çözerken bize harika ipuçları verir.

Varsayımımızı test etmek için, eksenlere paralel olmayan bir doğru parçası çizip uç noktalarını A ve B olarak isimlendirelim. Bu doğru parçasının altına yatay ve dikey iki hayali çizgi çekerek bir dik üçgen oluşturduğumuzu düşünelim.

ABYatay Değişim (Δx)Dikey Değişim (Δy)

Oluşturduğumuz bu dik üçgende yatay kenar, x eksenindeki (apsisler) değişimi, dikey kenar ise y eksenindeki (ordinatlar) değişimi temsil eder. O hâlde yatay uzunluk |x2 - x1|, dikey uzunluk ise |y2 - y1| kadar olacaktır.

Pisagor teoremini hatırlıyorsunuz değil mi? Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. A ve B noktalarını birleştiren eğik çizgi de tam olarak bu hipotenüstür!

∣AB∣2=(x2−x1)2+(y2−y1)2|AB|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2
∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Günlük Hayattan Bir Örnek

Cep telefonunuzdaki harita veya navigasyon uygulamalarının arka planında sürekli olarak analitik geometri çalışır. Haritayı bir koordinat düzlemi olarak düşündüğünüzde, bulunduğunuz konum ve gitmek istediğiniz konum iki farklı koordinat noktasıdır. Uygulama, size kuş uçuşu mesafeyi verirken tam olarak gruplarınızla keşfettiğiniz bu Pisagor tabanlı uzaklık formülünü kullanır.

auto_awesome

Analitik Geometriye Giriş ve İki Nokta Arasındaki Uzaklık: Alıştırma Soruları

  1. 1. Sayı doğrusu üzerinde yer alan K noktası -5 konumunda, L noktası ise 9 konumundadır. Buna göre K ve L noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

    • A) 4
    • B) 13
    • C) 14
    • D) 15
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 14

    Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatları farkının mutlak değeri ile bulunur: |-5 - 9| = |-14| = 14 birim.

  2. 2. Analitik düzlemde, başlangıç noktasına (orijin) olan uzaklığı 13 birim olan A(5, y) noktası veriliyor. A noktası analitik düzlemin birinci bölgesinde olduğuna göre y kaçtır?

    • A) 8
    • B) 10
    • C) 12
    • D) 13
    Cevabı göster

    Doğru cevap: C) 12

    Orijin noktası O(0,0)'dır. Uzaklık formülü gereği: 13^2 = (5 - 0)^2 + (y - 0)^2. Buradan 169 = 25 + y^2 => y^2 = 144 bulunur. Birinci bölgede y değeri pozitiftir, dolayısıyla y = 12 olur (5-12-13 üçgeni).

  3. 3. Dik koordinat düzleminde P(-2, 4) ve R(4, -4) noktaları veriliyor. Bu iki nokta arasındaki uzaklık (|PR|) kaç birimdir?

    • A) 8
    • B) 10
    • C) 12
    • D) 14
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) 10

    |PR| = kök( (4 - (-2))^2 + (-4 - 4)^2 ) = kök( 6^2 + (-8)^2 ) = kök(36 + 64) = kök(100) = 10 birim.

  4. 4. A(1, 3) ve B(4, k) noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir. B noktasının ordinatı (k) aşağıdakilerden hangisi olabilir?

    • A) -2
    • B) 4
    • C) 5
    • D) 7
    Cevabı göster

    Doğru cevap: D) 7

    Formülü uygularsak: 5 = kök( (4 - 1)^2 + (k - 3)^2 ). Her iki tarafın karesini alalım: 25 = 3^2 + (k - 3)^2 => 25 = 9 + (k - 3)^2 => 16 = (k - 3)^2. Buradan k - 3 = 4 veya k - 3 = -4 olur. k = 7 veya k = -1 bulunabilir. Şıklarda 7 yer almaktadır.

  5. 5. Bir harita uygulamasında Ceyda'nın evi C(-1, 5) noktasında, okulu ise O(7, k) noktasındadır. Ev ile okul arası doğrusal uçuş mesafesi 17 kilometredir. Okul, evin harita üzerinde daha güneyinde (alt kısmında) olduğuna göre, k kaçtır? (Haritada her 1 birim 1 km'yi ifade etmektedir)

    • A) -15
    • B) -10
    • C) 10
    • D) 20
    Cevabı göster

    Doğru cevap: B) -10

    Mesafe 17 km olduğundan, 17^2 = (7 - (-1))^2 + (k - 5)^2 formülü yazılır. 289 = 8^2 + (k - 5)^2 => 289 = 64 + (k - 5)^2 => 225 = (k - 5)^2. Buradan k - 5 = 15 veya k - 5 = -15 olur. Yani k = 20 veya k = -10'dur. Okul güneyde olduğu için y ekseninde daha küçük olan k = -10 seçilir.

1 soru daha seni bekliyor

Ücretsiz kaydol; Analitik Geometriye Giriş ve İki Nokta Arasındaki Uzaklık testini puanlı çöz, XP kazan ve takıldığın yeri yapay zeka öğretmenine sor.

Ücretsiz Kaydol