Online Kolej
Kayıt Ol

10. Sınıf Matematik · Ünite 4

Üçgenlerin Gizli Şifreleri: Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

Bir üçgenin kenarları ve açıları arasındaki muazzam uyumu keşfetmeye hazır mısınız? Bu derste Sinüs ve Kosinüs teoremlerinin nereden geldiğini ispatlayarak öğreneceğiz.

Kazanım MAT.10.4.4 · 40 dk okuma

Bir harita çizdiğinizi veya aralarında deniz bulunan iki ada arasındaki mesafeyi ölçmeye çalıştığınızı hayal edin. Elinizde sadece bulunduğunuz noktadan adalara olan uzaklıklar ve aradaki görüş açısı var. Karşıya geçmeden iki ada arasındaki mesafeyi nasıl bulursunuz? İşte tam bu noktada binlerce yıldır denizcilerin, haritacıların ve astronomların en büyük yardımcısı olan trigonometri devreye giriyor!

Kosinüs Teoremi: Pisagor'un Gelişmiş Versiyonu

Dik üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiyi Pisagor Teoremi ile bulmayı biliyoruz. Peki ya üçgenimiz dik üçgen değilse (örneğin dar veya geniş açılıysa)? İşte Kosinüs Teoremi, Pisagor Teoremi'nin tüm üçgenler için genelleştirilmiş halidir.

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡(C^)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\widehat{C})

Bu formülü ezberlemek yerine nereden geldiğini ispatlayalım. Aşağıdaki üçgende A köşesinden BC kenarına bir h yüksekliği indirelim. Bu yükseklik a kenarını x ve a-x olarak iki parçaya bölsün.

ABCHcbha - xx

Sağdaki (AHC) ve soldaki (AHB) olmak üzere iki adet dik üçgenimiz oldu. İkisi için de ayrı ayrı Pisagor Teoremi yazalım. Sağdaki üçgen için h^2 + x^2 = b^2 olur. Soldaki üçgen için ise h^2 + (a-x)^2 = c^2 olur. Soldaki denklemi açarsak:

c2=h2+a2−2ax+x2c^2 = h^2 + a^2 - 2ax + x^2

Dikkat ederseniz denklemde h^2 + x^2 ifadesi var. Biz biraz önce sağdaki üçgenden h^2 + x^2 = b^2 olduğunu bulmuştuk! Bunu yerine yazalım:

c2=b2+a2−2axc^2 = b^2 + a^2 - 2ax

Son olarak, x uzunluğunun ne olduğunu C açısını kullanarak yazalım. AHC üçgeninde C açısının kosinüsü (komşu/hipotenüs) x/b'dir. Yani cos(C) = x/b ise, x = b * cos(C) olur. Bunu da denklemimizde x yerine yazarsak muazzam ispatımızı tamamlamış oluruz:

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡(C^)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\widehat{C})

Sinüs Teoremi ve Alanın Büyüsü

Kosinüs teoreminden sonra sıradaki sırrımız Sinüs Teoremi. Bu teorem, bir üçgenin kenar uzunluklarının, karşılarındaki açıların sinüsleriyle doğru orantılı olduğunu söyler. Üstelik bu oran, üçgeni dıştan saran Çevrel Çember'in çapına (2R) eşittir!

asin⁡(A^)=bsin⁡(B^)=csin⁡(C^)=2R\frac{a}{\sin(\widehat{A})} = \frac{b}{\sin(\widehat{B})} = \frac{c}{\sin(\widehat{C})} = 2R

Bunu ispatlamak için üçgenin alanından yararlanacağız. Bir üçgenin alanını sinüs kullanarak üç farklı şekilde yazabiliriz:

Alan=12bcsin⁡(A^)=12acsin⁡(B^)=12absin⁡(C^)\text{Alan} = \frac{1}{2}bc\sin(\widehat{A}) = \frac{1}{2}ac\sin(\widehat{B}) = \frac{1}{2}ab\sin(\widehat{C})

Şimdi bu eşitlikteki her bir terimi 2 ile çarpıp, 'abc' (üç kenarın çarpımı) ifadesine bölelim:

sin⁡(A^)a=sin⁡(B^)b=sin⁡(C^)c\frac{\sin(\widehat{A})}{a} = \frac{\sin(\widehat{B})}{b} = \frac{\sin(\widehat{C})}{c}

Elde ettiğimiz bu eşitliği ters çevirdiğimizde karşımıza Sinüs Teoremi çıkar. Sinüs teoremi özellikle iki açı ve bir kenar, veya iki kenar ve bu kenarlardan birinin karşısındaki açı verildiğinde eksik parçaları bulmak için mükemmel bir araçtır.

auto_awesome

Üçgenlerin Gizli Şifreleri: Sinüs ve Kosinüs Teoremleri: Alıştırma Soruları

  1. Soru 1

    1. Bir ABC üçgeninde a = 3 birim, b = 5 birim ve C açısının ölçüsü 60 derecedir. Buna göre c kenarının uzunluğu kaç birimdir?

  2. Soru 2

    2. Bir ABC üçgeninde A açısı 30 derece, B açısı 45 derece ve A açısının karşısındaki a kenarı 4 birimdir. Buna göre B açısının karşısındaki b kenarı kaç birimdir?

  3. Soru 3

    3. Bir ABC üçgeninde A açısının ölçüsü 150 derece ve a kenarının uzunluğu 10 birimdir. Bu üçgeni dıştan teğet saran çevrel çemberin yarıçapı (R) kaç birimdir?

  4. Soru 4

    4. Kenar uzunlukları sırasıyla a = 7, b = 8 ve c = 13 birim olan bir ABC üçgeninde, C açısının ölçüsü kaç derecedir?

  5. Soru 5

    5. Bir ABC üçgeninin kenarları arasında a^2 = b^2 + c^2 + bc şeklinde bir bağıntı bulunmaktadır. Bu duruma göre A açısının ölçüsü kaç derecedir?

1 soru daha seni bekliyor

Ücretsiz kaydol; Üçgenlerin Gizli Şifreleri: Sinüs ve Kosinüs Teoremleri testini puanlı çöz, XP kazan ve takıldığın yeri yapay zeka öğretmenine sor.

Ücretsiz Kaydol