10. Sınıf Matematik · Ünite 3
Fonksiyonların Şifresini Çözmek: Algoritmik Adımlar
Fonksiyonların ve cebirsel işlemlerin ardındaki adım adım işleyen algoritmik mantığı keşfedeceğiz. Matematiksel işlemleri bilgisayar programları gibi düşünmeyi öğreneceğiz.
Kazanım MAT.10.3.2 · 40 dk okuma
Matematiksel Makineler: Fonksiyonlar ve Algoritmalar
Günlük hayatta bir kek yaparken veya yeni bir adrese giderken izlediğimiz kurallı adımların tümüne 'algoritma' dendiğini biliyoruz. Peki, matematikte sıkça kullandığımız fonksiyonların da aslında kusursuz işleyen birer algoritma olduğunu hiç düşündünüz mü?
Cebirsel İfadeleri Algoritmaya Dönüştürmek
Bir cebirsel işlemi veya fonksiyonu hesaplarken, işlem önceliği kurallarına (üslü sayılar, parantez içi, çarpma/bölme, toplama/çıkarma) uyarız. Bu kurallar aslında bizim algoritmik adımlarımızdır. Diyelim ki elimizde şöyle bir fonksiyon var:
Bu fonksiyonun içine bir 'x' değeri attığımızda, sonucun çıkması için arka planda sırasıyla şu adımlar çalışır (sözde kod - pseudocode mantığıyla):
- 1Adım: Başla ve dışarıdan bir x değeri al.
- 2Adım: x değerini 3 ile çarp.
- 3Adım: Bulduğun sonuçtan 5 çıkar.
- 4Adım: Elde edilen değeri çıktı (f(x)) olarak ekrana yazdır ve Bitir.
Şartlı Durumlar ve Parçalı Fonksiyonlar
Gerçek hayattaki her problem tek bir formülle çözülmez. Bazen belirli şartlara göre farklı işlemler yapmamız gerekir. Algoritmalarda bu duruma 'karar yapıları' (EĞER - İSE - DEĞİLSE) diyoruz. Matematikteki karşılığı ise 'Parçalı Fonksiyonlar'dır.
Örneğin, bir otoparkın ücret tarifesi şöyle olsun: İlk 2 saat için sabit 30 TL, 2 saatten sonraki her saat için ekstra 10 TL alınmaktadır. Bu durumu cebirsel bir parçalı fonksiyon olarak ifade edelim (x, otoparkta kalınan saat olsun):
Bu otoparkın bilgisayar sisteminde çalışan algoritma şu şekilde yazılır:
- 1Adım: Aracın otoparkta kaldığı süreyi (x) hesapla.
- 2Adım: EĞER x <= 2 İSE, Ücret = 30 TL yap ve 4. Adıma git.
- 3Adım: DEĞİLSE (yani x > 2), Ücret = 30 + (x - 2) * 10 formülünü uygula.
- 4Adım: Ücreti ekrana yazdır.
Fonksiyonların Şifresini Çözmek: Algoritmik Adımlar: Alıştırma Soruları
1. Bir bilgisayar programına girilen sayıya sırasıyla şu adımlar uygulanıyor: 1. Sayıya 4 ekle. 2. Çıkan sonucun karesini al. Bu algoritmanın cebirsel karşılığı olan f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
- A) f(x) = x^2 + 4
- B) f(x) = (x + 4)^2
- C) f(x) = x^2 + 16
- D) f(x) = 4x^2
Cevabı göster
Doğru cevap: B) f(x) = (x + 4)^2
Algoritma adım adım işler. Girdi x iken, 1. adımda x+4 elde edilir. 2. adımda bu bütün ifadenin karesi alınacağı için parantez kullanılmalıdır: (x+4)^2.
2. f(x) = (x / 2) - 1 fonksiyonunu hesaplamak için oluşturulacak en uygun sözde kod (pseudocode) sırası aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Sayıyı 2'ye böl, ardından sonuçtan 1 çıkar.
- B) Sayıdan 1 çıkar, ardından sonucu 2'ye böl.
- C) Sayıyı 2 ile çarp, ardından sonuçtan 1 çıkar.
- D) Sayıdan 2 çıkar, ardından sonucu 1'e böl.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Sayıyı 2'ye böl, ardından sonuçtan 1 çıkar.
İşlem önceliğine göre x değeri önce paydadaki 2'ye bölünür, ardından elde edilen kesirli ifadeden 1 çıkarılır.
3. Bir taksi durağında açılış ücreti 15 TL'dir ve gidilen her kilometre (x) başına 20 TL ücret yazmaktadır. Buna göre, yolcunun ödeyeceği toplam tutarı hesaplayan algoritmanın cebirsel kuralı (C(x)) nedir?
- A) C(x) = 15x + 20
- B) C(x) = 20x + 15
- C) C(x) = (x + 15) * 20
- D) C(x) = 35x
Cevabı göster
Doğru cevap: B) C(x) = 20x + 15
Taksi yolculuğunda x kilometre gidildiğinde 20*x kadar mesafe ücreti ödenir. Buna başlangıçtaki sabit 15 TL eklendiğinde sonuç 20x + 15 olur.
4. 1. Girdi olarak bir x sayısı al. 2. Eğer x < 0 ise sayıyı -1 ile çarp. 3. Eğer x >= 0 ise sayıyı aynen bırak. 4. Sonucu yazdır. Yukarıdaki algoritmik yapının matematiksel karşılığı hangi fonksiyondur?
- A) f(x) = x^2
- B) f(x) = √(x)
- C) f(x) = |x|
- D) f(x) = -x
Cevabı göster
Doğru cevap: C) f(x) = |x|
Verilen adımlar sayının negatif olması durumunda işaretini değiştirerek (pozitif yaparak) dışarı çıkarmaktadır. Bu mutlak değer fonksiyonunun ( |x| ) algoritmik tanımıdır.
5. A Algoritması: 'Girilen sayıyı 2 ile çarp, 1 ekle.' ( f(x) = 2x + 1 ) B Algoritması: 'Girilen sayının karesini al.' ( g(x) = x^2 ) Bir sistemde x sayısı önce A algoritmasına giriyor, A'dan çıkan sonuç B algoritmasına girdi yapılıyor. Buna göre, sistemden çıkan en son değerin cebirsel ifadesi nedir?
- A) 2x^2 + 1
- B) 4x^2 + 1
- C) 4x^2 + 4x + 1
- D) 2(x+1)^2
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 4x^2 + 4x + 1
Önce A algoritması çalışır: (2x + 1) üretilir. Bu değer B algoritmasına girdi olarak verilir: (2x+1)^2. Tam kare açılımı yapıldığında 4x^2 + 4x + 1 elde edilir (Bileşke fonksiyon: g(f(x))).