10. Sınıf Matematik · Ünite 4
Üçgenlerin Sırrı: Trigonometrik Oranların Keşfi
Benzer dik üçgenleri kullanarak aynı açıya sahip üçgenlerdeki kenar oranlarının neden hiç değişmediğini keşfediyoruz.
Kazanım MAT.10.4.1 · 40 dk okuma
Merhaba! Hiç çok yüksek bir dağ veya binanın boyunun nasıl ölçüldüğünü merak ettin mi? Elbette kimse dev bir cetvelle ölçüm yapmıyor. İşte tam bu noktada, gölgelerden ve benzerlikten yararlanan harika bir matematiksel araç devreye giriyor. Bugün seninle bu aracın temelini, yani üçgenlerin sırrını keşfedeceğiz.
Dik Üçgenin Anatomisi
Bir dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki en uzun kenara 'hipotenüs' deriz. Diğer iki dar açıdan birini seçtiğimizde, bu açının tam karşısındaki kenara 'karşı dik kenar', açının hemen yanındaki kenara ise 'komşu dik kenar' adını veririz.
Efsanevi 3-4-5 Üçgeni Ailesi
Şimdi bir kâğıt alıp kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 birim olan bir dik üçgen çizdiğimizi hayal edelim. Ardından bunun tam iki katı büyüklüğünde (6-8-10) başka bir dik üçgen çizelim. Bu üçgenlerin hepsi birbirine benzerdir, yani iç açıları tamamen aynıdır! İncelemek için aşağıdaki şekle göz at.
Oranların Büyüsü
Her iki üçgende de taban ile hipotenüs arasındaki o özel dar açıyı seçelim. Bu açının karşısındaki kenarın, hipotenüse oranını küçük üçgende hesaplayalım.
Şimdi aynı oranı büyük üçgen için hesaplayalım.
Şaşırtıcı, değil mi? Üçgen ne kadar büyürse büyüsün, açı değişmediği sürece bu oran her zaman aynı kalır! Sadece karşı kenarın hipotenüse oranı değil; komşu kenarın hipotenüse veya karşı kenarın komşu kenara oranı da sabittir.
İsimlendirme Zamanı: Trigonometrik Oranlar
Matematikçiler her defasında uzun uzun 'karşı bölü hipotenüs' dememek için bu oranlara özel isimler vermişlerdir. Karşı/Hipotenüs oranına Sinüs (sin), Komşu/Hipotenüs oranına Kosinüs (cos), Karşı/Komşu oranına Tanjant (tan) ve Komşu/Karşı oranına Kotanjant (cot) diyoruz.
Bu genelleme sayesinde, sadece açısını bildiğimiz devasa bir yapının boyunu, küçük bir üçgen yardımıyla kolayca hesaplayabiliriz. Trigonometri dünyasına hoş geldin!
Üçgenlerin Sırrı: Trigonometrik Oranların Keşfi: Alıştırma Soruları
1. Bir dik üçgende, dar açılardan birinin tam karşısında bulunan kenarın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna bölümü ile hangi trigonometrik oran elde edilir?
- A) Sinüs
- B) Kosinüs
- C) Tanjant
- D) Kotanjant
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Sinüs
Karşı dik kenarın hipotenüse oranı her zaman Sinüs (sin) değerini verir.
2. Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir dik üçgende, en uzun kenara ne ad verilir?
- A) Karşı dik kenar
- B) Komşu dik kenar
- C) Hipotenüs
- D) Tanjant
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Hipotenüs
Bir dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki en uzun kenara daima hipotenüs denir.
3. Kenar uzunlukları 5, 12 ve 13 birim olan bir dik üçgende, uzunluğu 5 birim olan kenarı gören dar açının tanjant (tan) değeri kaçtır?
- A) 5/13
- B) 12/13
- C) 5/12
- D) 12/5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 5/12
Tanjant oranı karşı dik kenar bölü komşu dik kenardır. 5 birimlik kenarı gören açı için karşı kenar 5, komşu dik kenar 12 birimdir. Oran 5/12 olur.
4. Bir dar açı olan x için sin(x) = 3/5 olarak verilmiştir. Buna göre aynı x açısına sahip, hipotenüsü 20 cm olan benzer bir dik üçgende x açısının karşısındaki kenarın uzunluğu kaç cm olur?
- A) 9
- B) 12
- C) 15
- D) 18
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 12
sin(x) = karşı / hipotenüs = 3/5 olmalıdır. Hipotenüs 20 ise, karşı / 20 = 3 / 5 denklemi kurulur. Buradan karşı kenar 12 cm olarak bulunur.
5. Ali, kâğıda bir dik üçgen çiziyor ve bir alfa açısının kosinüs değerini 4/5 buluyor. Ayşe ise Ali'nin çizdiği üçgenin tüm kenarlarını 3 kat büyüterek yeni bir dik üçgen çiziyor ve aynı alfa açısının kosinüsünü hesaplıyor. Ayşe'nin bulduğu değer ile Ali'nin bulduğu değerin toplamı kaçtır?
- A) 4/5
- B) 8/5
- C) 12/5
- D) 24/5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 8/5
Trigonometrik oranlar üçgenin boyutuna değil, sadece açıya bağlıdır. Üçgen büyütülse de kosinüs değeri değişmez. Ayşe'nin bulduğu değer de 4/5'tir. Toplamları 4/5 + 4/5 = 8/5 yapar.