10. Sınıf Matematik · Ünite 1
Sayıların Sırrı: Bölünebilme Kuralları ve Kalanların Gizemi
10. sınıf seviyesinde, sayıların 2'den 10'a kadar olan sayılara bölümünden kalanları keşfedecek, örüntüler yakalayacak ve EKOK yardımıyla yeni matematiksel önermeler üreteceğiz.
Kazanım MAT.10.1.3 · 40 dk okuma
Sayıların İzleri: Bölme ve Kalanlar
Matematikte bölme işlemi sadece 'kaç kere var?' sorusuyla ilgilenmez; bazen asıl hikaye geriye kalanlardadır. Günlük hayatta eşyaları gruplarken, nöbet çizelgeleri hazırlarken veya şifreleme sistemleri kurarken bir sayının başka bir sayıya bölümünden 'kalanı' bilmek işimizi çok kolaylaştırır.
Kalanları Keşfetmek ve Tahmin Etmek
Büyük bir sayının 3'e veya 9'a bölümünden kalanı bulmak için uzun bölme işlemi yapmamıza gerek yoktur. Rakamları toplamına odaklanmak yeterlidir. Örneğin 1453 sayısının 9 ile bölümünden kalanı düşünelim:
Gördüğünüz gibi, 1453'ün 9 ile bölümünden kalan 4'tür. Benzer şekilde 4 ile bölünebilmede son iki basamağa, 5 ile bölünebilmede ise sadece birler basamağına bakarak kalanı hızlıca tahmin edebiliriz.
Farklı Parçalardan Bütüne: EKOK ile Kalanları Genelleme
Şimdi işleri biraz daha ilginçleştirelim. Diyelim ki elimizdeki bilyeleri 3'er 3'er saydığımızda 1 bilye artıyor, 4'er 4'er saydığımızda yine 1 bilye artıyor. Bu durumu matematiksel olarak nasıl modelleriz?
Eğer her iki durumdan da o artan '1' bilyeyi çıkarırsak, geriye kalan bilyeler hem 3'ün hem de 4'ün tam katı olur. 3 ve 4 aralarında asal olduğu için, bu sayı 3 ve 4'ün en küçük ortak katı (EKOK) olan 12'nin de katı olmak zorundadır.
Yukarıdaki görselde mavi kesikli çizgiler 3'er ritmik saymayı, kırmızı sürekli çizgiler ise 4'er ritmik saymayı temsil ediyor. Her ikisinin de ilk ortak buluşma noktası 12'dir. Yani 3 ve 4 ile bölündüğünde 1 kalanını veren sayılar, aslında 12 ile bölündüğünde de 1 kalanını verir. Bu harika bir matematiksel genellemedir!
Örüntüleri Sınama ve Doğrulama
Oluşturduğumuz bu önermeyi test edelim. Bulduğumuz kurala (12t + 1) göre t=1 için sayımız 13, t=2 için 25 olur. Gerçekten de 25 sayısını 3'e bölersek 8 kere var ve kalan 1 olur. 4'e bölersek 6 kere var ve kalan yine 1 olur. Gördüğünüz gibi kurduğumuz matematiksel mantık kusursuz bir şekilde işliyor.
Sayıların Sırrı: Bölünebilme Kuralları ve Kalanların Gizemi: Alıştırma Soruları
1. 34567 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
- A) 4
- B) 5
- C) 7
- D) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 7
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25. 25 sayısını 9'a böldüğümüzde kalan 7 olur.
2. 123458 sayısının 4 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
- A) 0
- B) 1
- C) 2
- D) 3
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 2
4 ile bölünebilme kuralına göre sayının sadece son iki basamağına bakılır. 58 sayısını 4'e bölersek (14 x 4 = 56) geriye 2 kalır.
3. A doğal sayısı 3 ile bölündüğünde 2, 5 ile bölündüğünde ise yine 2 kalanını vermektedir. Buna göre A'nın alabileceği iki basamaklı en küçük değer kaçtır?
- A) 12
- B) 17
- C) 22
- D) 32
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 17
Sayı her iki duruma göre A = 3k + 2 = 5m + 2 şeklinde yazılabilir. A'dan 2 çıkarırsak sayı hem 3'ün hem 5'in katı olur. EKOK(3,5) = 15'tir. A - 2 = 15 ise A = 17 olur. İki basamaklı en küçük değer 17'dir.
4. Dört basamaklı 4x5y sayısı 6'ya tam bölünebilmektedir. Bu sayının 5 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
- A) 12
- B) 13
- C) 15
- D) 17
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 15
Sayı 5 ile bölündüğünde 1 kalıyorsa y rakamı 1 veya 6 olmalıdır. Sayı 6'ya (yani hem 2'ye hem 3'e) tam bölündüğünden çift olmalıdır, bu yüzden y = 6'dır. Sayı 4x56 oldu. 3'e tam bölünmesi için rakamları toplamı (4+x+5+6 = 15+x) 3'ün katı olmalıdır. x rakamı en fazla 9 olabilir (15+9=24). O halde maksimum x+y = 9+6 = 15 olur.
5. Bir kutudaki bilyeler 4'erli gruplandığında 3 bilye, 5'erli gruplandığında 4 bilye, 6'şarlı gruplandığında ise 5 bilye artmaktadır. Bu kutuda en az kaç bilye vardır?
- A) 59
- B) 61
- C) 119
- D) 121
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 59
Bilye sayısına M diyelim. M = 4a+3 = 5b+4 = 6c+5. Her tarafa 1 eklersek M+1 = 4(a+1) = 5(b+1) = 6(c+1) olur. Yani M+1 sayısı 4, 5 ve 6'nın ortak katıdır. EKOK(4,5,6) = 60'tır. M+1 = 60 ise en az M = 59 bilye vardır.