Online Kolej
Kayıt Ol

10. Sınıf Matematik · Ünite 4

Üçgende Alanın Esnek Dünyası: Tabanlar ve Yükseklikler

Matematiksel yazılımlar ve mantıksal çıkarımlar kullanarak üçgenin alanının taban ve yükseklik ile olan orantısal ilişkisini keşfediyoruz. Paralel doğrular arasındaki alan korunumunu inceleyerek geometrik varsayımlarımızı önermelere dönüştürüyoruz.

Kazanım MAT.10.4.3 · 40 dk okuma

Merhaba genç matematikçi! Bugün geometrinin en temel ama en büyüleyici konularından biri olan üçgende alanı, durağan bir formül olmaktan çıkarıp hareketli bir keşif yolculuğuna dönüştüreceğiz.

Bildiğin gibi, bir üçgenin alanı taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. Bunu matematiksel olarak şu şekilde ifade ederiz:

Alan=a⋅ha2Alan = \frac{a \cdot h_a}{2}

1. Dinamik Keşif: Paralel Doğrular Arasında Dans Eden Üçgen

Şimdi seninle bir düşünce deneyi yapalım. Tepe noktası belirli bir doğru üzerinde kayan, ancak tabanı sabit kalan bir üçgen hayal et. Tepe noktası tabana paralel bir doğru üzerinde hareket ediyorsa alan değişir mi? Aşağıdaki etkileşimli alanda C noktasını fareyle sağa sola sürükle ve Alan değerini gözlemle.

touch_appEtkileşimli

Fark ettin mi? C noktasını ne kadar hareket ettirirsen ettir, üçgenin şekli değişmesine rağmen (bazen dar açılı, bazen geniş açılı oluyor) alanı hiç değişmiyor! Çünkü üçgenin tabanı (AB uzunluğu) ve yüksekliği (iki paralel doğru arasındaki uzaklık) sabittir.

2. Yükseklikleri Eşit Olan Üçgenler

Eğer iki üçgenin yükseklikleri eşitse, bu üçgenlerin alanlarının büyüklüğünü tamamen taban uzunlukları belirler. Yani alanlar, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır.

3 birim5 birimAlan = 3SAlan = 5S

Yukarıdaki görselde, büyük üçgen tepe noktasından inen bir doğru parçası ile iki küçük üçgene ayrılmıştır. Bu iki küçük üçgenin tepe noktaları aynı (ortak) olduğu için yükseklikleri eşittir. Dolayısıyla, tabanları 3 ve 5 birim ise, alanlarını da 3S ve 5S olarak paylaştırabiliriz.

A1A2=a1a2\frac{A_1}{A_2} = \frac{a_1}{a_2}

3. Tabanları Eşit Olan Üçgenler

Mantığı tersine çevirelim: Eğer iki üçgenin taban uzunlukları eşitse, o zaman alanlar yüksekliğe bağlı olarak değişir. Dağcıların tırmandığı iki farklı zirve hayal et; kamp kurdukları taban kampı (zemin) aynıysa, hangi dağın zirvesi daha yüksekse, o dağın oluşturduğu üçgensel siluetin alanı da o kadar büyük olacaktır. Alanlar, tabana ait yüksekliklerle doğru orantılıdır.

Özetle: Üçgenin alanı sadece tabana veya sadece yüksekliğe bağlı değildir; her ikisinin birleşik sonucudur. Birini sabit tuttuğumuzda, alan diğer elemanın gösterdiği değişimi birebir (doğrusal olarak) taklit eder. Şimdi bu önermeleri ne kadar iyi anladığını test etme zamanı!

auto_awesome

Üçgende Alanın Esnek Dünyası: Tabanlar ve Yükseklikler: Alıştırma Soruları

  1. Soru 1

    1. Yükseklikleri eşit olan K ve L üçgenlerinin taban uzunlukları sırasıyla 6 cm ve 9 cm'dir. K üçgeninin alanı 24 cm² olduğuna göre, L üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

  2. Soru 2

    2. Taban uzunlukları birbirine eşit olan ABC ve DEF üçgenlerinden ABC'nin yüksekliği 5 cm, DEF'nin yüksekliği ise 8 cm'dir. ABC üçgeninin alanı 40 birimkare ise DEF üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

  3. Soru 3

    3. Birbirine paralel d1 ve d2 doğruları verilmiştir. d1 üzerinde A ve B noktaları, d2 üzerinde ise C ve D noktaları bulunmaktadır. Alan(ABC) = 45 cm² olduğuna göre Alan(ABD) kaç cm²'dir?

  4. Soru 4

    4. Bir ABC üçgeninde D noktası BC kenarı üzerindedir. |BD| = 4 cm ve |DC| = 7 cm olarak ölçülmüştür. ABC üçgeninin toplam alanı 88 cm² olduğuna göre, ABD üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

  5. Soru 5

    5. ABC üçgeninde D noktası BC kenarı üzerinde, E noktası ise AD doğrusu üzerindedir. |BD| = 3|DC| ve |AE| = 2|ED| bilgileri veriliyor. Alan(EDC) = 12 birimkare ise, Alan(ABC) kaç birimkaredir?

1 soru daha seni bekliyor

Ücretsiz kaydol; Üçgende Alanın Esnek Dünyası: Tabanlar ve Yükseklikler testini puanlı çöz, XP kazan ve takıldığın yeri yapay zeka öğretmenine sor.

Ücretsiz Kaydol