12. Sınıf Matematik · Ünite 1
Polinom Ailesiyle Tanışma: Doğrusal, Karesel ve Ötesi
Doğrusal ve karesel fonksiyonların daha büyük bir ailenin, yani polinomların birer üyesi olduğunu keşfedecek ve aralarındaki benzerlikleri inceleyeceğiz.
Kazanım MAT.12.1.3 · 40 dk okuma
Aile Ağacını Çıkarıyoruz: Polinomlar
Yıllar boyunca matematik derslerinde doğrusal fonksiyonların düz çizgilerini ve karesel fonksiyonların o meşhur parabollerini (U şeklindeki eğrilerini) çizdiniz. Bazen bu ikisi tamamen farklı dünyaların konularıymış gibi gelir. Ancak bugün, bu iki fonksiyon türünün aslında aynı genetiği taşıdığını ve Polinomlar adını verdiğimiz devasa bir ailenin en temel üyeleri olduğunu keşfedeceğiz.
Yukarıdaki genel yapıda n bir doğal sayıdır ve katsayılar birer gerçek sayıdır. Eğer sadece en sondaki iki terimi alırsak (yani n=1 olursa), doğrusal bir fonksiyon elde ederiz:
Peki ya n=2 yaparsak? O zaman aşağıdaki formda, bildiğimiz karesel fonksiyonu (parabolü) elde ederiz:
Hangi Özellikleri Miras Almışlar?
Bu fonksiyonların aynı aileden olduğunu sadece denklemlerine bakarak değil, davranışlarını ve işlemlerini inceleyerek de anlayabiliriz.
- Tanım Kümesi Kardeşliği: Hem doğrusal, hem karesel, hem de tüm polinom fonksiyonların tanım kümesi Gerçek Sayılardır. x yerine yazılamayacak yasaklı bir sayı yoktur.
- Kesintisiz Çizgiler (Süreklilik): Grafiğini çizerken kaleminizi kâğıttan kaldırmanıza gerek kalmaz. Doğrusal çizgiler veya paraboller üzerinde kopma ya da tanımsızlık yaşamazlar.
- İşlem Kapalılığı: İki doğrusal fonksiyonu çarparsanız karesel bir fonksiyon elde edersiniz. Yani kardeşler kendi aralarında toplandığında, çıkarıldığında veya çarpıldığında ortaya yine ailenin bir üyesi (başka bir polinom) çıkar.
Günlük Hayattan Bir Benzetme
Doğrusal fonksiyonları düz bir yolda sabit hızla yürümek gibi düşünebilirsiniz. Karesel fonksiyonlar ise bir arabanın gaza basarak ivmelenmesi gibidir; zaman geçtikçe aldığınız yol katlanarak artar. Her ikisi de sizi A noktasından B noktasına ulaştıran hareket modelleridir. Kübik veya daha yüksek dereceli polinomlar ise bir uçağın kalkış anındaki çok daha hızlı tırmanışını modeller. Hepsi aynı hareket kurallarına tabidir, sadece ivmeleri ve grafiksel eğrilikleri (dereceleri) farklıdır.
Polinom Ailesiyle Tanışma: Doğrusal, Karesel ve Ötesi: Alıştırma Soruları
1. Aşağıdakilerden hangisi doğrusal ve karesel fonksiyonların, genel polinom ailesinin birer üyesi olduğunu gösteren temel kanıttır?
- A) Değişkenin üslerinin doğal sayı olması ve katsayıların gerçek sayı olması
- B) Grafiklerinin her zaman x eksenini kesmesi
- C) Sadece pozitif değerler almaları
- D) Tanım kümelerinin sadece tam sayılardan oluşması
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Değişkenin üslerinin doğal sayı olması ve katsayıların gerçek sayı olması
Doğrusal (üs 1) ve karesel (üs 2) fonksiyonlar, polinomların temel şartı olan 'değişkenin üslerinin doğal sayı olması' kuralına uyarlar.
2. Doğrusal, karesel ve daha yüksek dereceli polinom fonksiyonlarının tanım kümesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
- A) Sadece pozitif gerçek sayılar kümesinde tanımlıdırlar.
- B) Tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlıdırlar ve grafikleri kesintisizdir.
- C) Rasyonel sayılar kümesi dışında tanımlı değildirler.
- D) Sıfır noktasında tanımsızdırlar.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlıdırlar ve grafikleri kesintisizdir.
Tüm polinom fonksiyonları (doğrusal ve karesel dahil) gerçek sayılarda tanımlıdır ve grafiklerinde kopma veya sıçrama olmaz (süreklidirler).
3. Gerçek sayılarda tanımlı doğrusal bir f(x) fonksiyonu ile karesel bir g(x) fonksiyonu çarpılıyor. Elde edilen yeni h(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- A) Grafiği düz bir çizgi belirtir.
- B) Tanım kümesi daralır ve bazı gerçek sayılar için tanımsız olur.
- C) Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonu belirtir.
- D) İkinci dereceden bir polinom (parabol) belirtmeye devam eder.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonu belirtir.
Polinomlarda çarpma işleminde dereceler toplanır. 1. dereceden (doğrusal) ve 2. dereceden (karesel) iki fonksiyonun çarpımı 3. dereceden yeni bir polinom fonksiyonu oluşturur.
4. Bir öğrenci, doğrusal ve karesel fonksiyonların özelliklerini gözlemleyerek polinomlarla ilgili bir analoji kuruyor. Öğrencinin kurduğu aşağıdaki analojilerden hangisi hatalıdır?
- A) Doğrusal fonksiyonlar polinom ailesinin 1. dereceden en sade üyeleridir.
- B) Karesel bir fonksiyondan doğrusal bir fonksiyon çıkarıldığında aileden çıkılır, polinom belirtmez.
- C) Hem karesel hem doğrusal fonksiyonların x eksenindeki izdüşümleri tüm gerçek sayıları kapsar.
- D) Karesel ve doğrusal fonksiyonların katsayıları gerçek sayılar kümesinin elemanıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Karesel bir fonksiyondan doğrusal bir fonksiyon çıkarıldığında aileden çıkılır, polinom belirtmez.
Polinomlar kendi aralarında toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır. Karesel bir fonksiyondan doğrusal bir fonksiyon çıkarılırsa sonuç yine bir polinom (ikinci dereceden) olur.
5. Bir P(x) polinomu ile Q(x) doğrusal fonksiyonu toplandığında derecenin değişmediği, P(x)'in karesi alındığında ise 4. dereceden bir fonksiyon elde edildiği görülüyor. Analojik akıl yürütme kullanılarak P(x) ve Q(x)'in çarpımının grafiği hakkında ne söylenebilir?
- A) Sabit bir doğru belirtir.
- B) Parabolik bir eğri (U şeklinde) karakteristiği gösterir.
- C) Orijinden geçen doğrusal bir grafik belirtir.
- D) Kübik (3. dereceden) bir polinom eğrisi belirtir.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Kübik (3. dereceden) bir polinom eğrisi belirtir.
P(x)'in karesi 4. dereceden ise kendisi 2. derecedendir (karesel). Q(x) doğrusaldır (1. derece). Karesel ve doğrusal fonksiyonun çarpımı 3. dereceden (kübik) bir grafik karakteristiği üretir.