5. Sınıf Matematik · Geometrik Nicelikler
Alan ve Çevre Arasındaki Gizli İlişki
Aynı alana sahip dikdörtgenlerin çevrelerini ve aynı çevre uzunluğuna sahip dikdörtgenlerin alanlarını inceliyoruz. Şekillerin sınırları ve kapladığı yer arasındaki inanılmaz dengeyi keşfedeceğiz.
Kazanım MAT.5.4.3 · 35 dk okuma
Dikdörtgenlerin Gizli Dünyasına Hoş Geldiniz!
Merhaba genç matematikçiler! Bugün sizlerle şekillerin kapladığı yer (alan) ile etrafındaki çit (çevre) arasındaki ilginç bir ilişkiyi keşfedeceğiz. Acaba aynı büyüklükte bir halı dokurken her zaman aynı uzunlukta ipe mi ihtiyacımız var? Ya da elimizdeki belli bir uzunluktaki telle yapabileceğimiz en büyük bahçe nasıl bir şekle sahip olur? Gelin bu soruların cevaplarını bulalım!
1. Aynı Alana Sahip Dikdörtgenlerin Çevreleri
Diyelim ki alanı tam 24 birimkare olan dikdörtgenler oluşturmak istiyoruz. Kenar uzunlukları birer doğal sayı olacak şekilde oluşturabileceğimiz dikdörtgenleri ve çevrelerini bir tablo gibi alt alta listeleyelim:
- Kısa kenar 1 birim, uzun kenar 24 birim (Çevre = 50 birim)
- Kısa kenar 2 birim, uzun kenar 12 birim (Çevre = 28 birim)
- Kısa kenar 3 birim, uzun kenar 8 birim (Çevre = 22 birim)
- Kısa kenar 4 birim, uzun kenar 6 birim (Çevre = 20 birim)
2. Aynı Çevre Uzunluğuna Sahip Dikdörtgenlerin Alanları
Şimdi de oyunun kurallarını tersine çeviriyoruz! Elimizde tam 20 metre uzunluğunda bir tel var ve bu telle etrafı tamamen kapalı dikdörtgen şeklinde bir bahçe yapmak istiyoruz.
İki kenarın toplamı 10 metre olacak şekilde kenarları belirleyip bu bahçelerin alanlarını (kapladıkları yeri) inceleyelim:
- Kenarlar 1 m ve 9 m -> Alan = 9 metrekare
- Kenarlar 2 m ve 8 m -> Alan = 16 metrekare
- Kenarlar 3 m ve 7 m -> Alan = 21 metrekare
- Kenarlar 4 m ve 6 m -> Alan = 24 metrekare
- Kenarlar 5 m ve 5 m -> Alan = 25 metrekare (Kare de özel bir dikdörtgendir!)
Günlük Hayattan İpucu: Eğer bir tarlanın etrafını çitle çevirecekseniz ve elinizdeki çit miktarı kısıtlıysa, içine en çok domatesi ekebileceğiniz (en büyük alana sahip) tarlayı elde etmek için onu kareye en yakın şekilde tasarlamalısınız!
Alan ve Çevre Arasındaki Gizli İlişki: Alıştırma Soruları
1. Alanı 36 santimetrekare olan ve kenar uzunlukları birer doğal sayı olan bir dikdörtgen oluşturulacaktır. Aşağıdakilerden hangisi bu dikdörtgenin kenar uzunlukları olamaz?
- A) 1 cm ve 36 cm
- B) 2 cm ve 18 cm
- C) 4 cm ve 9 cm
- D) 5 cm ve 7 cm
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 5 cm ve 7 cm
Dikdörtgenin alanı kısa ve uzun kenarın çarpımı ile bulunur. 5 x 7 = 35 eder, 36 değil.
2. Çevre uzunluğu 24 metre olan bir dikdörtgenin bir kısa ve bir uzun kenarının uzunlukları toplamı kaç metredir?
- A) 6
- B) 12
- C) 24
- D) 48
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 12
Dikdörtgenin çevresi iki kısa ve iki uzun kenarın toplamıdır. Yani Çevre = 2 x (Kısa + Uzun). Çevre 24 ise, kısa ve uzun kenarın toplamı 24 / 2 = 12 metre olur.
3. Alanı 30 birimkare olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin çevre uzunluğu EN AZ kaç birim olabilir?
- A) 62
- B) 34
- C) 26
- D) 22
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 22
Alanı 30 olan dikdörtgenlerin çevre uzunluğunun en az olması için kenarlar birbirine en yakın seçilmelidir. Kenarları 5 ve 6 birim seçersek (5x6=30), çevre = 2 x (5 + 6) = 22 birim olur.
4. Çevre uzunluğu 32 santimetre olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin alanı EN FAZLA kaç santimetrekare olabilir?
- A) 32
- B) 60
- C) 63
- D) 64
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 64
Çevresi 32 cm ise, kısa ve uzun kenar toplamı 16 cm'dir. Alanın en fazla olması için kenarlar birbirine en yakın (eşit) seçilmelidir. Kenarları 8 ve 8 seçersek (kare de bir dikdörtgendir), alan 8 x 8 = 64 santimetrekare olur.
5. Zeynep, çevresi 40 metre olan dikdörtgen şeklinde bir çiçek bahçesi yapacaktır. Ali ise alanı 36 metrekare olan dikdörtgen şeklinde bir sebze bahçesi yapacaktır (Her ikisinin de bahçe kenarları doğal sayıdır). Buna göre, Zeynep'in bahçesinin alanı en fazla kaç metrekare olabilir ve Ali'nin bahçesinin çevresi en az kaç metre olabilir?
- A) Zeynep 100 metrekare, Ali 24 metre
- B) Zeynep 400 metrekare, Ali 26 metre
- C) Zeynep 100 metrekare, Ali 26 metre
- D) Zeynep 80 metrekare, Ali 24 metre
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Zeynep 100 metrekare, Ali 24 metre
Zeynep'in bahçesinin çevresi 40 ise iki kenar toplamı 20'dir. Alanı maksimize etmek için kenarlar eşit (10x10) seçilir ve en büyük alan 100 olur. Ali'nin bahçesinin alanı 36 ise çevreyi minimize etmek için kenarlar eşit (6x6) seçilir ve en az çevre 2x(6+6) = 24 olur.