7. Sınıf Matematik · Ünite 2
Algoritmalarla Cebirsel İfadeler ve Eşitsizlikler
Cebirsel ifadelerde ve eşitsizliklerde işlemleri adım adım algoritmalarla nasıl ifade edeceğimizi ve eşitsizliklerin altın kurallarını öğreneceğiz.
Kazanım MAT.7.2.4 · 40 dk okuma
Matematiğin Gizli Tarifi: Algoritmalar
Cebirsel ifadeleri ve eşitsizlikleri çözerken aslında birer algoritma, yani adım adım bir plan kullanırız. Tıpkı lezzetli bir kek yaparken tarifi sırasıyla uyguladığımız gibi, matematikte de doğru sonuca ulaşmak için işlemleri belirli ve mantıklı bir sırayla yapmamız gerekir.
Cebirsel İfadelerde Algoritma Adımları
Bize verilen sözel bir durumu matematiksel olarak ifade etmek ve çözmek için bir algoritma oluşturabiliriz. Örneğin, 'Bir sayının 3 katının 5 fazlası' ifadesini düşünelim:
- Adım: Bilinmeyen sayımızı 'x' olarak belirle. 2. Adım: Bu sayıyı 3 ile çarp. 3. Adım: Çıkan sonuca 5 ekle.
Eşitsizliklerin Heyecan Verici Dünyası
Denklemlerde her iki taraf birbirine eşitken, eşitsizliklerde terazi her zaman bir tarafa doğru eğiktir. Aşağıdaki çizimde sol taraftaki 'x' kutusunun sağ taraftaki '5' kutusundan daha ağır olduğunu, yani x'in 5'ten büyük olduğunu görebiliriz.
Adım Adım Eşitsizlik Çözme Algoritması
Şimdi bu kuralları kullanarak zorlu görünen bir eşitsizliği algoritmik adımlarla çözelim.
Birinci Adım: Yalnız bırakma işlemine başla. Her iki taraftan 4 çıkar. (Kural 1'e göre yön değişmez)
İkinci Adım: Her iki tarafı x'in katsayısı olan -2'ye böl. DİKKAT! Negatif bir sayıya böldüğümüz için Kural 2 devreye girer ve eşitsizliğin yönü değişmelidir.
Günlük Hayattan Bir Örnek
Kumbaranızda 50 liranız var ve her hafta harçlığınızdan 15 lira biriktirmeye karar verdiniz. Toplam paranızın ne zaman 110 liradan fazla olacağını bulmak istiyorsunuz. Bu durumu '50 + 15x > 110' şeklinde modelleyebilir ve öğrendiğimiz algoritma adımlarıyla kaç hafta geçmesi gerektiğini bulabiliriz!
Algoritmalarla Cebirsel İfadeler ve Eşitsizlikler: Alıştırma Soruları
1. Bir öğrenci, x - 5 > 12 eşitsizliğini çözmek için bir algoritma uyguluyor. Öğrencinin uygulaması gereken ilk doğru adım ve ortaya çıkacak yeni eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Her iki tarafa 5 eklemek. Yeni durum: x > 17
- B) Her iki taraftan 5 çıkarmak. Yeni durum: x > 7
- C) Her iki tarafı 5 ile çarpmak. Yeni durum: x > 60
- D) Her iki tarafı -5'e bölmek. Yeni durum: x < 17
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Her iki tarafa 5 eklemek. Yeni durum: x > 17
Eşitsizlikte x'i yalnız bırakmak için -5'i yok etmemiz gerekir. Bunun için algoritmanın ilk adımı her iki tarafa 5 eklemektir. Her iki tarafa aynı sayı eklendiğinde eşitsizliğin yönü değişmez.
2. 'Bir sayının 4 katının 7 eksiği' ifadesini adım adım hesaplamak isteyen bir bilgisayar programı için yazılacak en uygun algoritma sırası aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 1. Sayıya 7 ekle, 2. Sonucu 4 ile çarp
- B) 1. Sayıdan 7 çıkar, 2. Sonucu 4 ile çarp
- C) 1. Sayıyı 4 ile çarp, 2. Sonuçtan 7 çıkar
- D) 1. Sayıyı 7 ile çarp, 2. Sonuçtan 4 çıkar
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 1. Sayıyı 4 ile çarp, 2. Sonuçtan 7 çıkar
Cebirsel ifade 4x - 7'dir. İşlem önceliğine göre ve ifadeyi doğru oluşturmak için önce değişken (x) 4 ile çarpılmalı, ardından çıkan sonuçtan 7 çıkarılmalıdır.
3. -4x ≥ 20 eşitsizliğini çözmek isteyen Ayşe'nin uygulayacağı algoritmanın son adımında hangi işlemi yapması ve hangi sonucu bulması beklenir?
- A) Her iki tarafı 4'e bölmek. Sonuç: -x ≥ 5
- B) Her iki tarafı -4'e bölmek. Sonuç: x ≤ -5
- C) Her iki tarafı -4'e bölmek. Sonuç: x ≥ -5
- D) Her iki tarafa 4 eklemek. Sonuç: x ≥ 24
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Her iki tarafı -4'e bölmek. Sonuç: x ≤ -5
x'in önündeki katsayı -4 olduğu için her iki taraf -4'e bölünmelidir. Eşitsizliğin altın kuralına göre negatif bir sayıya böldüğümüz için '≥' işareti yön değiştirerek '≤' olmalıdır. Böylece x ≤ -5 bulunur.
4. Bir algoritma şu adımlardan oluşmaktadır: 1. Adım: Bir x sayısı al. 2. Adım: Bu sayıya 3 ekle. 3. Adım: Bulduğun sonucu -2 ile çarp. Bu algoritmanın matematiksel olarak doğru ifade edilişi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) -2x + 3
- B) x + 3 - 2
- C) -2(x + 3)
- D) (x - 2) + 3
Cevabı göster
Doğru cevap: C) -2(x + 3)
Adım adım gidersek: Önce x sayısına 3 ekleriz (x + 3). Sonra bu bütünü -2 ile çarpmamız gerektiği için parantez kullanmalıyız: -2(x + 3).
5. Kaan, 8 - 3x < 23 eşitsizliğini çözerken aşağıdaki algoritmayı izliyor. 1. Adım: Her iki taraftan 8 çıkar. 2. Adım: Her iki tarafı -3'e böl. Kaan bu adımları doğru uyguladığında, 1. Adım ve 2. Adım sonunda elde edeceği eşitsizlikler sırasıyla hangisi olur?
- A) 1. Adım: -3x < 15, 2. Adım: x < -5
- B) 1. Adım: 3x < 15, 2. Adım: x > -5
- C) 1. Adım: -3x < 15, 2. Adım: x > -5
- D) 1. Adım: -3x > 15, 2. Adım: x < -5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 1. Adım: -3x < 15, 2. Adım: x > -5
1. Adımda her iki taraftan 8 çıkarırsak -3x < 15 kalır (toplama/çıkarmada yön değişmez). 2. Adımda her iki tarafı -3'e bölersek, negatif sayıya böldüğümüz için yön değişir ve x > -5 olur.