7. Sınıf Matematik · Ünite 2
Matematiksel Dedektiflik: Sayıların Sırrını Kanıtlamak
Öğrenciler bu derste matematiksel varsayımlar oluşturmayı, örüntüleri incelemeyi ve iddiaları 'tersine örnek' yöntemiyle çürütüp doğrulamayı keşfederler.
Kazanım MAT.7.2.3 · 40 dk okuma
Matematikte Dedektif Olmaya Ne Dersin?
Günlük hayatta bir olayın doğruluğuna inanmak için kanıt ararız. Matematikte de bir kuralın her zaman işe yaradığını söyleyebilmek için onu sadece tahmin etmek yetmez, kesin olarak kanıtlamamız gerekir. Buna matematiksel ispat diyoruz. İspat yapmak, bir iddianın (varsayımın) hiçbir şüpheye yer bırakmayacak şekilde doğru olduğunu göstermektir.
Bir İddia Ortaya Atalım (Varsayım Oluşturma)
Doğru olduğunu düşündüğümüz ama henüz kanıtlamadığımız fikirlere varsayım (hipotez) deriz. Gelin sayılarla ilgili bir iddia ortaya atalım. Örneğin, iki tek sayıyı toplarsak sonuç ne olur? Bir varsayımda bulunalım: İki tek sayının toplamı her zaman bir tek sayıdır.
Varsayımımızı Test Edelim
Hemen iddiamızı birkaç örnekle deneyelim. 3 ve 5 birer tek sayıdır. Onları toplayalım:
Eyvah! 8 bir çift sayıdır. Demek ki ortaya attığımız ilk iddia doğru değilmiş. Matematikte bir kuralın veya iddianın yanlış olduğunu göstermek için o kurala uymayan sadece bir tane örnek bulmak yeterlidir. Bulduğumuz bu zıt örneğe tersine örnek diyoruz.
O halde tersine örneğimizi gördükten sonra varsayımımızı değiştirelim ve düzeltelim: İki tek sayının toplamı her zaman çift sayıdır. Başka sayılarla da kontrol edelim:
İşte şimdi doğru yoldayız! Bunu noktalarla görselleştirirsek, tek sayıları ikişerli grupladığımızda her zaman bir nokta dışarıda kalır. İki tek sayıyı topladığımızda, dışarıda kalan o yalnız noktalar birleşerek bir çift oluşturur ve tüm sayı tam eşleşmiş (çift sayı) olur. Aşağıdaki görseli inceleyelim:
Ardışık Sayıların Gizemi
Şimdi başka bir sayı örüntüsüne bakalım. Ardışık 3 doğal sayıyı (örneğin arka arkaya gelen 4, 5 ve 6 sayılarını) toplayalım.
Burada harika bir ilişki gizli. Toplamımız olan 15, ortadaki sayımız olan 5'in tam 3 katıdır. Acaba bu hep böyle mi? Yeni varsayımımız: Ardışık 3 doğal sayının toplamı her zaman ortadaki sayının 3 katıdır.
Gördüğünüz gibi, baştaki sayı ortadaki sayıdan 1 eksik, sondaki sayı ise 1 fazladır. Eksik olanı fazla olana verdiğimizde elimizde tam 3 tane ortadaki sayıdan kalır. İşte matematiksel ispat ve mantık yürütmek, sayıların dünyasındaki bu mükemmel düzeni yakalamamızı sağlar!
Matematiksel Dedektiflik: Sayıların Sırrını Kanıtlamak: Alıştırma Soruları
1. Matematikte bir varsayımın (iddianın) her zaman doğru olmadığını, hatalı olduğunu kanıtlamak için kullanılan kavrama ne ad verilir?
- A) Sayı Örüntüsü
- B) Geometrik İspat
- C) Tersine Örnek
- D) Ardışık Deneme
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Tersine Örnek
Bir iddianın yanlış olduğunu kanıtlamak için kuralı bozan tek bir örnek bulmak yeterlidir. Bu kural bozucu örneğe tersine örnek denir.
2. Bir arkadaşınız 'İki çift sayının çarpımı her zaman tek sayıdır' diye bir varsayımda bulundu. Bu varsayımı çürütmek için aşağıdaki işlemlerden hangisini tersine örnek olarak gösterebilirsiniz?
- A) 3 x 5 = 15
- B) 2 x 4 = 8
- C) 2 + 6 = 8
- D) 7 x 2 = 14
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2 x 4 = 8
İddia iki çift sayının çarpımıyla ilgilidir. 2 ve 4 iki çift sayıdır. Çarpımları 8'dir (çift sayıdır). Bu örnek, 'çarpımları tek sayıdır' iddiasını çürüttüğü için kusursuz bir tersine örnektir.
3. Zeynep, 'Ardışık iki doğal sayının toplamı her zaman tek sayıdır' varsayımını ortaya atıyor. Zeynep'in bu varsayımı hakkında ne söylenebilir?
- A) Yanlıştır, çünkü 3 ile 5'in toplamı 8'dir ve 8 bir çift sayıdır.
- B) Yanlıştır, çünkü ardışık sayıların toplamı her zaman çifttir.
- C) Doğrudur, çünkü bütün sayılar toplandığında bir noktadan sonra tek sayı verir.
- D) Doğrudur, çünkü ardışık iki sayıdan biri mutlaka tek, diğeri mutlaka çifttir. Tek ve çiftin toplamı da tektir.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Doğrudur, çünkü ardışık iki sayıdan biri mutlaka tek, diğeri mutlaka çifttir. Tek ve çiftin toplamı da tektir.
Ardışık iki sayı arka arkaya gelir (örneğin 4 ve 5). Biri çift ise diğeri mecburen tek olur. Bir tek ile bir çift sayının toplamı her zaman tek sayıdır. Bu yüzden varsayım doğrudur.
4. 'Bir sayının karesi (kendisinin kendisiyle çarpımı) her zaman o sayının kendisinden büyüktür' şeklindeki bir varsayımı çürütmek için aşağıdaki sayılardan hangisi tersine örnek olarak kullanılabilir?
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 1
1 sayısının karesi (1 x 1) yine 1'dir. Yani 1'in karesi, 1'den büyük değildir (eşittir). Bu yüzden 1 sayısı, verilen varsayımı çürüten harika bir tersine örnektir.
5. Ardışık 3 tek sayının toplamını inceleyen Ali, şu örnekleri yazıyor: 1+3+5=9 ve 7+9+11=27. Ali bu örneklerden yola çıkarak genel bir kural (varsayım) oluşturmak istiyor. Ali'nin kuracağı en mantıklı matematiksel varsayım aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Ardışık üç tek sayının toplamı her zaman asal sayıdır.
- B) Ardışık üç tek sayının toplamı her zaman çift sayıdır.
- C) Ardışık üç tek sayının toplamı her zaman ortadaki sayının 3 katıdır.
- D) Ardışık üç tek sayının toplamı her zaman son sayıdan daha küçüktür.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Ardışık üç tek sayının toplamı her zaman ortadaki sayının 3 katıdır.
Örneklerde 1,3,5'in ortadaki sayısı 3'tür (3x3=9). 7,9,11'in ortadaki sayısı 9'dur (9x3=27). Tıpkı normal ardışık sayılarda olduğu gibi, ardışık tek sayılarda da baştaki eksikliği sondaki fazlalıkla dengelerseniz her zaman ortadaki sayının 3 katını elde edersiniz.