7. Sınıf Matematik · Ünite 3
Aynadaki Matematik: Yansıma, Orta Dikme ve Açıortay
Yansıma dönüşümünün özelliklerini inceleyerek doğru parçalarının orta dikmelerini ve açıların açıortaylarını nasıl kolayca inşa edebileceğimizi keşfediyoruz.
Kazanım MAT.7.3.2 · 40 dk okuma
Güneşli bir günde durgun bir göl kenarında yürüdüğünüzü hayal edin. Ağaçların ve dağların suya yansıması o kadar kusursuzdur ki, gerçek ile yansıma arasındaki yüzey bir ayna gibi görünür. İşte matematikte de yansıma tam olarak böyle çalışır! Bir şekli yansıttığımızda, aynadan olan uzaklığı ile görüntüsünün aynadan uzaklığı tamamen aynıdır. Geometride bu sihirli aynaya 'simetri doğrusu' diyoruz.
Doğru Parçası ve Orta Dikme İnşası
Bir doğru parçası düşünelim. Eğer bu doğru parçasının tam ortasına bir ayna (simetri doğrusu) yerleştirirsek ne olur? Doğru parçasının bir ucu, aynada tam olarak diğer ucunun yansıması olur! Bir doğru parçasını tam ortadan iki eşit parçaya bölen ve ona dik açıyla kesişen bu doğruya 'orta dikme' adını veriyoruz.
Bunu kendin de deneyebilirsin: Bir kağıda düz bir çizgi çiz. Kağıdı, çizdiğin çizginin iki ucu tam üst üste gelecek şekilde katla. Oluşan kat izini açtığında göreceğin doğru, senin doğru parçanın simetri doğrusudur; yani orta dikmesidir! Katlama eylemi, aslında matematikteki yansıma dönüşümünün pratik bir uygulamasıdır.
Açılar ve Açıortay İnşası
Peki ya bir açıyı yansıtmak istersek? Bir açının tam ortasından öyle bir simetri doğrusu geçirelim ki, açının bir kolu aynaya bakınca diğer kolunu görsün. Bu doğru, başlangıçtaki büyük açıyı birbirine eş iki küçük açıya ayırır. Bir açıyı tam iki eş parçaya bölen bu doğruya 'açıortay' diyoruz.
Tıpkı doğru parçasında olduğu gibi, bir açının kolları da simetri doğrusuna (açıortaya) göre yansıma altındadır. Açıortay üzerindeki herhangi bir noktanın, açının her iki koluna olan uzaklığı her zaman eşittir. Çünkü yansıma, aynaya olan mesafeleri kusursuz bir şekilde korur. Bunu matematiksel olarak ifade edersek uzaklıklara d_1 ve d_2 diyelim:
Altın Çıkarımlarımız
- Bir doğru parçasının simetri doğrusu, o doğru parçasının aynı zamanda orta dikmesidir.
- Bir açının simetri doğrusu, o açının aynı zamanda açıortayıdır.
Aynadaki Matematik: Yansıma, Orta Dikme ve Açıortay: Alıştırma Soruları
1. Bir açıyı tam ortadan iki eş parçaya bölen ve o açının kollarının birbirine göre simetriğini oluşturan doğruya ne ad verilir?
- A) Açıortay
- B) Orta dikme
- C) Paralel doğru
- D) Kenarortay
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Açıortay
Bir açının simetri doğrusu, o açıyı iki eş parçaya böldüğü için açıortay olarak adlandırılır.
2. Bir kağıda çizilen 14 cm uzunluğundaki AB doğru parçası, A ve B noktaları tam üst üste gelecek biçimde katlanıyor. Oluşan kat izi doğru parçasını kestiği noktadan itibaren sağa ve sola kaçar cm'lik uzaklıklara ayırır?
- A) 6 cm ve 8 cm
- B) 5 cm ve 9 cm
- C) 7 cm ve 7 cm
- D) 14 cm ve 14 cm
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 7 cm ve 7 cm
Noktaların üst üste gelmesi için oluşan kat izi simetri eksenidir, yani orta dikmedir. Orta dikme doğru parçasını eşit iki uzunluğa böler. 14'ün yarısı 7'dir.
3. Ayşe, ölçüsü 110 derece olan geniş bir açının yansıma simetrisini incelemek için bir simetri doğrusu inşa ediyor. Bu doğruyu çizdikten sonra oluşan iki yeni açının ölçüleri aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 45 ve 65
- B) 50 ve 60
- C) 55 ve 55
- D) 90 ve 20
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 55 ve 55
Bir açının simetri doğrusu aynı zamanda onun açıortayıdır. Açıortay 110 derecelik açıyı iki eş parçaya böler, 110 / 2 = 55 derecedir.
4. Bir AB doğru parçası veriliyor. Bir m doğrusu çizildiğinde, A noktasının m doğrusuna göre yansımasının B noktası olduğu görülüyor. Buna göre m doğrusu için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- A) AB doğru parçasına paraleldir.
- B) AB doğru parçasının orta dikmesidir.
- C) Sadece A noktasından geçen bir doğrudur.
- D) AB doğru parçasıyla hiçbir noktada kesişmez.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) AB doğru parçasının orta dikmesidir.
A noktasının yansıması B ise, simetri doğrusu (m doğrusu) A ve B noktalarına eşit uzaklıkta ve onları birleştiren doğru parçasına tam ortadan dik olmak zorundadır. Bu durum orta dikmenin matematiksel tanımıdır.
5. Bir açının açıortayı (simetri doğrusu) üzerinde rastgele bir K noktası seçiliyor. K noktasından açının birinci koluna çizilen en kısa mesafe (dik uzaklık) 8 cm olarak ölçülüyor. K noktasının açının diğer koluna olan en kısa mesafesi kaç cm olur?
- A) 4
- B) 8
- C) 16
- D) Bilinemez
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 8
Açıortay, açının simetri doğrusudur. Yansıma kuralı gereği, simetri ekseni üzerindeki bir noktanın aynanın iki tarafındaki yansımaları (açının kollarına olan uzaklıkları) birbirine tamamen eşittir.